Question

Различные ненулевые числа x и y удовлетворяют равенству x^4-2018x^3-2018y^2x=y^4-2018y^3-2018yx^2. Найдите сумму x+y.

Answer 1

Решение смотри на фото

Answer 2

Давайте решим данное уравнение по порядку.

Уравнение имеет вид: x^4 - 2018x^3 - 2018y^2x = y^4 - 2018y^3 - 2018yx^2

Выделим общие члены справа и слева: x^4 - y^4 - 2018x^3 + 2018y^3 - 2018y^2x + 2018yx^2 = 0

Разложим разность кубов: (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) - 2018x^3 + 2018y^3 - 2018y^2x + 2018yx^2 = 0

Факторизуем первые два члена: (x - y)(x + y)(x^2 + y^2) - 2018x^3 + 2018y^3 - 2018y^2x + 2018yx^2 = 0

Разделим все выражение на 2018: [(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)]/2018 - x^3 + y^3 - y^2x + yx^2 = 0

Перенесем последние два члена на другую сторону уравнения: [(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)]/2018 = x^3 - y^3 + y^2x - yx^2

Поскольку данное уравнение симметрично относительно x и y, то можно заменить x на y и y на x: [(y - x)(y + x)(y^2 + x^2)]/2018 = y^3 - x^3 + x^2y - xy^2

Умножим обе части уравнения на 2018: (y - x)(y + x)(y^2 + x^2) = 2018(y^3 - x^3 + x^2y - xy^2)

Теперь заметим, что (y^3 - x^3) = (y - x)(y^2 + xy + x^2): (y - x)(y + x)(y^2 + x^2) = 2018(y - x)(y^2 + xy + x^2 + xy)

Сократим на (y - x): (y + x)(y^2 + x^2) = 2018(y^2 + 2xy + x^2)

(y^3 + yx^2 + yx^2 + x^3) = 2018(y^2 + 2xy + x^2)

y^3 + 2yx^2 + x^3 = 2018(y^2 + 2xy + x^2)

Получившееся уравнение является квадратным относительно суммы y и x: (y + x)^3 = 2018(y + x)^2

Разделим обе части на (y + x)^2 (поскольку y и x не равны нулю): y + x = 2018

Таким образом