Question

Помогите решить неравенство (7-10*x+4*x^2)/(x+1)>=1

Answer 1

домножим обе части на (х-1), причём, если х-1  больше 0, то знак неравенства не поменяется, если меньше 0, то надо поменять знак.

1)х+1 больше 0, т.е. х больше -1.

7-10х+4x^2 больше или равно х+1

7-10х+4х^2-x-1  больше или равно 0

4х^2-11x+6 больше или равно 0

D=121-96=25

x=(11+-5)/8

х=2; 3/4

4(х-2)(х-3/4) больше или равно 0

решением этого нер-ва явл. объединение промежутков от -бесконечн. до 3/4 и от 2 до +бескон., поскольку мы рассматривали случай, когда х больше -1, то первый промежуток будет ]-1; 3/4] и [2; + бескон.)

2) х+1 меньше 0, т.е. х меньше -1

.... получаем то-же неравенство, но уже меньше или равно 0.

его решением явл. промежуток [3/4; 2] , но т.к. условием было х меньше -1, то решений нет.

Таким образом решением первоначального неравенства является объединение промежутков: ]-1; 3/4] и [2; + бескон.)

Answer 2

Для решения данного неравенства нужно привести его к виду (ax + b)/(cx + d) >= 0 и определить знаки выражения (ax + b), (cx + d) и значения x, при которых выполняется неравенство.

1. Приведем исходное неравенство к виду (ax + b)/(cx + d) >= 0:

(7 - 10x + 4x^2)/(x + 1) >= 1

7 - 10x + 4x^2 >= x + 1

4x^2 - 11x + 6 >= 0

2. Решим квадратное уравнение 4x^2 - 11x + 6 = 0, чтобы найти корни и определить знаки выражения 4x^2 - 11x + 6:

4x^2 - 11x + 6 = 0

(4x - 3)(x - 2) = 0

x1 = 3/4, x2 = 2

Выражение 4x^2 - 11x + 6 имеет разные знаки на интервалах (-∞, 3/4), (3/4, 2) и (2, +∞).

3. Определим знаки выражений (7 - 10x + 4x^2) и (x + 1):

(7 - 10x + 4x^2) > 0 на интервалах (1/2, 3/4) и (2, +∞)

(7 - 10x + 4x^2) < 0 на интервалах (-∞, 1/2) и (3/4, 2)

(x + 1) > 0 на интервалах (-∞, -1) и (-1, +∞)

(x + 1) < 0 на интервале (-1, 0)

4. Построим таблицу знаков:

   x < -1 -1 < x < 1/2 1/2 < x < 3/4 3/4 < x < 2 x > 2

   (7 - 10x + 4x^2)/(x + 1) | - - + + + x + 1 | - + + + +

5. Найдем значения x, при которых выполняется неравенство:

(7 - 10x + 4x^2)/(x + 1) >= 1

На интервале (-∞, -1) неравенство не выполняется, так как оба выражения отрицательны.

На интервале (-1, 1/2) неравенство выполняется, так как (7 - 10x + 4x^2) < 0 и (x + 1) < 0.

На интервале (1/2, 3/4) неравенство не выполняется, так как оба выражения положительны.

На интервале