Question

Найдите сумму целочисленных решений неравенства 256*9^x-300*12^x+81*16^x<=0

Answer 1

Неравенство,  сводящееся к квадратному.
Делим на 16ˣ≠0
256t² - 300t +81 ≤ 0;     t=(3/4)ˣ >0.

D=(-300)²-4·256·81=90 000  - 82944=7056=84².

t₁=(300-84)/512=(3/4)³    или    t₂=(300+84)/512=3/4

_____+____(t₁)____-_____(t₂)____+___

(3/4)³ ≤ t ≤(3/4)

(3/4)³≤ (3/4)ˣ ≤(3/4)

1≤ x ≤ 3
 
О т в е т. х∈[3;4].

Answer 2

Для решения данного неравенства сначала выразим его в виде уравнения и затем найдем целочисленные решения.

Неравенство: 256 * 9^x - 300 * 12^x + 81 * 16^x <= 0

Мы можем заметить, что числа 9, 12 и 16 являются степенями числа 3, то есть 9 = 3^2, 12 = 3 * 2^2 и 16 = 2^4. Заменим соответствующие значения:

256 * (3^2)^x - 300 * (3 * 2^2)^x + 81 * (2^4)^x <= 0

256 * 3^(2x) - 300 * 3^x * 2^(2x) + 81 * 2^(4x) <= 0

Теперь мы можем заметить, что все слагаемые в этом неравенстве являются положительными. Разделим всю неравенство на положительное число 3^(2x) (поскольку 3^(2x) > 0 для всех значений x):

256 - 300 * (3^x * 2^(2x)) / 3^(2x) + 81 * (2^(4x)) / 3^(2x) <= 0

256 - 300 * (2/3)^x + 81 * (4/9)^x <= 0

Теперь это уже квадратное уравнение вида t^2 - pt + q <= 0, где t = (2/3)^x и p = 300/256, q = 81/256.

Для решения этого уравнения нам нужно найти значения t, удовлетворяющие неравенству. Обратимся к графику квадратного уравнения:

markdownCopy code
     ________________________
    /                        \
   /                          \
  /                            \

-----/------------------------------------- t1 t2

На графике мы видим, что значения t, удовлетворяющие неравенству t^2 - pt + q <= 0, будут находиться в интервале между корнями t1 и t2 уравнения t^2 - pt + q = 0.

Таким образом, наша задача - найти корни этого квадратного уравнения и определить интервал между этими корнями.

t^2 - pt + q = 0

Дискриминант D для этого квадратного уравнения равен:

D = p^2 - 4q

Подставим значения p и q:

D = (300/256)^2 - 4 * (81/256) = 90000/65536 - 324/256 = (90000 - 324 * 256) / 65536 = (90000 - 82944) / 65536 = 7048 / 65536

D =