Question

Решите пожалуйста sin2x+2cos2x=1

Answer 1

sin 2x+2cos 2x =1

2sinxcosx+2(cosx)^2-2(sinx)^2-(cosx)^2-(sinx)^2=0

2sinxcosx+(cosx)^2-3(sinx)^2=0 |:(cosx)^2 не=0

2tgx+1-3(tgx)^2=0|*(-1)                x не=П/2+Пn,n принадлежит Z

3(tgx)^2-2tgx-1=0 |tgx=t

3t^2-2t-1=0

D=(-2)^2-4*3*(-1)=16

t1=(2+4)/6=1                                        t2=(2-4)/6=-1/3

tgx=1                                                   tgx=-1/3

x=П/4+Пn,n принадлежит Z                   x=-arctg 1/3 + Пk,k принадл.Z

Answer 2

Для решения уравнения sin(2x) + 2cos(2x) = 1 сначала преобразуем его, используя тригонометрические тождества. Напомним, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x) и cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x).

Подставим эти выражения в уравнение:

2sin(x)cos(x) + 2(cos^2(x) - sin^2(x)) = 1

Раскроем скобки и объединим подобные члены:

2sin(x)cos(x) + 2cos^2(x) - 2sin^2(x) = 1

Перепишем это уравнение в терминах sin(x) и cos(x):

2sin(x)cos(x) + 2cos^2(x) - 2(1 - cos^2(x)) = 1

Раскроем скобки:

2sin(x)cos(x) + 2cos^2(x) - 2 + 2cos^2(x) = 1

Соберем все члены с cos^2(x) вместе:

4cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) - 2 = 1

Теперь у нас получилось квадратное уравнение относительно cos(x). Перенесем все члены в левую часть уравнения:

4cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) - 3 = 0

Это квадратное уравнение можно решить с помощью стандартных методов, например, используя дискриминант или факторизацию. Однако, в данном случае, мы продолжим решение, приняв cos(x) за переменную t.

Полученное квадратное уравнение становится:

4t^2 + 2st - 3 = 0

Теперь решим это уравнение относительно t, используя квадратное уравнение.

Дискриминант D = b^2 - 4ac:

D = (2s)^2 - 4 * 4 * (-3) = 4s^2 + 48

Найдем значения t, используя формулу квадратного уравнения:

t = (-2s ± √D) / (2 * 4) = (-2s ± √(4s^2 + 48)) / 8

Теперь вернемся к переменной x, где cos(x) = t:

cos(x) = (-2s ± √(4s^2 + 48)) / 8

Теперь мы можем найти значения x, используя обратные тригонометрические функции:

x = arccos((-2s ± √(4s^2 + 48)) / 8)

Полученное решение представляет собой набор значений x, которые удовлет