Question

Докажите что число 3 в 100 степени +1 делится на 2

Answer 1

3 в любой степени нечетное число, т.к. мы перемножаем нечетные числа

нечетное число + 1 = четное число, а оно делится на 2

Answer 2

Для доказательства, что число $3^{100} + 1$ делится на 2, можно воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая При $n = 0$ мы имеем $3^0 + 1 = 1 + 1 = 2$. Число 2 делится на 2 без остатка, следовательно, базовый случай выполняется.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что для некоторого положительного целого числа $k$ число $3^k + 1$ делится на 2 без остатка.

Шаг 3: Индукционный переход Мы должны доказать, что если предположение индукции выполняется для $k$, то оно также выполняется для $k + 1$. То есть, если $3^k + 1$ делится на 2 без остатка, то и $3^{k+1} + 1$ также делится на 2 без остатка.

Рассмотрим выражение $3^{k+1} + 1$: $3^{k+1} + 1 = 3^k \cdot 3 + 1 = 3 \cdot (3^k) + 1$

Мы знаем, что $3^k + 1$ делится на 2 без остатка по предположению индукции. Таким образом, можно записать: $3^k + 1 = 2 \cdot m$ где $m$ - некоторое целое число.

Заменим $3^k + 1$ в выражении $3 \cdot (3^k) + 1$: $3 \cdot (3^k) + 1 = 3 \cdot (2 \cdot m) + 1 = 6m + 1$

Заметим, что $6m$ является четным числом, так как оно делится на 2 без остатка. Поэтому: $6m + 1 = 2 \cdot (3m) + 1$

Таким образом, мы видим, что $3^{k+1} + 1$ также записывается в виде $2 \cdot (3m) + 1$, где $3m$ является целым числом. Это означает, что $3^{k+1} + 1$ делится на 2 без остатка.

Шаг 4: Заключение Мы доказали, что если предположение индукции выполняется для $k$, то оно также выполняется для $k + 1$. Базовый случай выполняется, поэтому по принципу математической индукции мы можем сделать вывод, что для любого положительного целого числа $n$ число (3^n + 1