Question

Решите неравенство n! меньше или равно 56(n-2)!, если n € N

Answer 1

N! ≤ 56(n-2)!
Делим на (n-2)!
(n-1)*n ≤ 56
n²-n-56 ≤ 0
решаем уравнение:
n²-n-56 = 0
n1=-7, n2=8
Это парабола с осями вверх, меньше или равно нулю на на отрезке
[-7; 8] - это ответ

Answer 2

Чтобы решить это неравенство, мы можем сократить оба факториала и привести его к более простому виду. Давайте начнем:

n! ≤ 56(n-2)!

n! / (n-2)! ≤ 56

(n(n-1)(n-2)!)/(n-2)! ≤ 56

n(n-1) ≤ 56

n² - n ≤ 56

n² - n - 56 ≤ 0

Теперь нам нужно найти значения n, которые удовлетворяют этому квадратному неравенству. Мы можем решить его с помощью факторизации или метода дискриминанта.

Факторизация: (n - 8)(n + 7) ≤ 0

Таким образом, мы имеем два возможных случая:

1. n - 8 ≤ 0 и n + 7 ≥ 0: n ≤ 8 и n ≥ -7

   Отрицательные значения n не удовлетворяют условию натуральных чисел, поэтому нам нужно взять только положительные значения.

   Решение: n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2. n - 8 ≥ 0 и n + 7 ≤ 0: n ≥ 8 и n ≤ -7

   Здесь мы видим, что нет целых значений n, которые удовлетворяют этому случаю.

Таким образом, решением неравенства n! ≤ 56(n-2)! при n ∈ N являются значения n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.