Question

в равнобедренном треугольнике ABC с боковыми сторонами AB и BC точка M на стороне AB и точка N на стороне BC выбраны соответственно так,что BM=BN. Докажите,что AN=CM

Answer 1

Т.к. АВС равнобедренный тоеугольник то АВ и ВС(равны по условию) точка М на стороне АВ и точка N на стороне ВС соответственно АN=СМ

Answer 2

Для доказательства равенства AN = CM в равнобедренном треугольнике ABC с боковыми сторонами AB и BC, где BM = BN, мы можем использовать свойства равнобедренных треугольников и теорему о перпендикулярных биссектрисах.

Поскольку треугольник ABC является равнобедренным, у него равны основания боковых сторон: AB = BC. Пусть O - середина стороны AB.

Так как BM = BN, точка M должна быть равноудалена от точек A и O. Это означает, что точка M находится на перпендикулярной биссектрисе угла AOB.

Аналогично, точка N должна быть равноудалена от точек O и C, поэтому она также находится на перпендикулярной биссектрисе угла COB.

Таким образом, точки M и N лежат на одной прямой, проходящей через точку O и перпендикулярной стороне AC. Обозначим эту прямую как l.

Так как треугольник ABC равнобедренный, биссектриса угла BAC также является высотой и медианой, и она делит сторону BC пополам. Пусть точка P - точка пересечения биссектрисы угла BAC и стороны BC.

Так как треугольник ABC равнобедренный, у него также равны углы BAC и BCA.

Из равенства углов и теоремы о перпендикулярных биссектрисах следует, что прямая l является высотой и медианой треугольника ABC.

Таким образом, точки P и O совпадают, и мы имеем:

AN = AP (так как точка N находится на прямой l) CP = CP (так как точка P совпадает с точкой O)

Так как AN = AP и CP = CP, мы можем заключить, что AN = CM.

Таким образом, доказано, что в равнобедренном треугольнике ABC с боковыми сторонами AB и BC, где BM = BN, выполняется равенство AN = CM.