Question

Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями y=(x-2)^2 , y=4-x^2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и вычислить определенный интеграл площади между этими точками.

Для начала найдем точки пересечения двух кривых, y = (x - 2)^2 и y = 4 - x^2:

(x - 2)^2 = 4 - x^2

Раскроем скобки:

x^2 - 4x + 4 = 4 - x^2

2x^2 - 4x = 0

Вынесем общий множитель:

2x(x - 2) = 0

Таким образом, имеем две точки пересечения: x = 0 и x = 2.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, нужно вычислить определенный интеграл площади между этими точками. Поскольку у нас есть две функции, y = (x - 2)^2 и y = 4 - x^2, нужно найти разность площадей между ними.

Площадь под кривой y = (x - 2)^2 вычисляется следующим образом:

S1 = ∫[0, 2] (x - 2)^2 dx

Площадь под кривой y = 4 - x^2 вычисляется следующим образом:

S2 = ∫[0, 2] (4 - x^2) dx

Тогда общая площадь фигуры равна разности площадей:

Площадь = S2 - S1

Вычислим каждый из интегралов:

S1 = ∫[0, 2] (x - 2)^2 dx = ∫[0, 2] (x^2 - 4x + 4) dx = [x^3/3 - 2x^2 + 4x] [0, 2] = (8/3 - 8 + 8) - (0/3 - 0 + 0) = 8/3

S2 = ∫[0, 2] (4 - x^2) dx = [4x - (x^3/3)] [0, 2] = (8 - 8/3) - (0 - 0) = 16/3

Площадь = S2 - S1 = (16/3) - (8/3) = 8/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = (x - 2)^2 и y = 4 - x^2, равна 8/3.