Question

Log^2 по основанию2 x- |log2 x|<6

Answer 1

log2x=t

t>=0 t^2-t-6<0

        (-2;3)

[0;3)

1<=x<8

t<0

t^2+t-6<0

(-3;2)

(-3;0)

1/8<x<1

1/8<x<8

 

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте разобьем его на два случая, и решим каждый из них отдельно.

Случай 1: log2 x ≥ 0

Если log2 x ≥ 0, то |log2 x| равно просто log2 x. Поэтому неравенство можно переписать следующим образом:

log2 x^2 - log2 x < 6

Применим свойство логарифма log a - log b = log (a/b):

log2 (x^2 / x) < 6

Упростим выражение в скобках:

log2 x < 6

Теперь избавимся от логарифма, применив возведение в степень 2 по основанию 2:

2^(log2 x) < 2^6

x < 64

Таким образом, для случая log2 x ≥ 0, решением неравенства является любое значение x, такое что 0 ≤ x < 64.

Случай 2: log2 x < 0

Если log2 x < 0, то |log2 x| равно -log2 x. Поэтому неравенство можно переписать следующим образом:

log2 x^2 + log2 x < 6

Применим свойство логарифма log a + log b = log (a * b):

log2 (x^2 * x) < 6

Упростим выражение в скобках:

log2 x^3 < 6

Теперь избавимся от логарифма, применив возведение в степень 2 по основанию 2:

2^(log2 x^3) < 2^6

x^3 < 64

Возведем обе части неравенства в куб:

x^3 < 4^3

x^3 < 64

Таким образом, для случая log2 x < 0, решением неравенства является любое значение x, такое что x < 4.

Объединяя результаты из обоих случаев, мы получаем, что решением исходного неравенства является любое значение x, такое что 0 ≤ x < 4 или 0 ≤ x < 64.