Question

Найдите критические точки функции f(x)=x^3+3X^2

Answer 1

Берется производная.

 

f'(x)=3x^2+6X

 

3x^2+6X=0

 

x(x+2)=0

 

x=0 и x=-2

Answer 2

Для нахождения критических точек функции f(x) = x^3 + 3x^2, мы должны найти значения x, где производная функции равна нулю или не существует. Давайте найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю:

f'(x) = 3x^2 + 6x

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

3x^2 + 6x = 0

Факторизуем это уравнение:

3x(x + 2) = 0

Таким образом, у нас две критические точки:

1. x = 0
2. x + 2 = 0, что означает x = -2

Проверим, существует ли экстремумы в этих точках. Для этого посмотрим на знак производной в окрестностях каждой точки.

1. При x < -2: f'(x) = 3x^2 + 6x > 0 (положительный знак)
2. В окрестности x = -2: f'(-3) = 3(-3)^2 + 6(-3) < 0 (отрицательный знак)
3. При -2 < x < 0: f'(x) = 3x^2 + 6x > 0 (положительный знак)
4. В окрестности x = 0: f'(1) = 3(1)^2 + 6(1) > 0 (положительный знак)
5. При x > 0: f'(x) = 3x^2 + 6x > 0 (положительный знак)

Из анализа производной видно, что функция f(x) = x^3 + 3x^2 имеет минимум в точке x = -2. В точке x = 0 производная равна нулю, но это не является экстремумом, а точкой перегиба.

Таким образом, критические точки функции f(x) = x^3 + 3x^2 следующие:

1. (0, f(0)) - точка перегиба
2. (-2, f(-2)) - минимум