Question

Докажите 1-sin^2a/1-cos^2a+tga×ctga=1/sin^2a

Answer 1

упрошаем левую часть,приведя его к равенству к правой

Answer 2

Для доказательства данного равенства, начнем с левой стороны и постепенно приведем его к правой стороне:

Выражение:

(1 - sin^2(a))/(1 - cos^2(a)) + tan(a) * cot(a)

Рассмотрим первое слагаемое:

(1 - sin^2(a))/(1 - cos^2(a))

Мы знаем, что sin^2(a) + cos^2(a) = 1 (тождество Пифагора). Заменим sin^2(a) в числителе этого слагаемого на 1 - cos^2(a):

(1 - (1 - cos^2(a)))/(1 - cos^2(a))

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

(1 - 1 + cos^2(a))/(1 - cos^2(a)) = cos^2(a)/(1 - cos^2(a))

Заметим, что 1 - cos^2(a) = sin^2(a) (также тождество Пифагора). Подставим это значение:

cos^2(a)/sin^2(a)

Теперь рассмотрим второе слагаемое:

tan(a) * cot(a)

Мы знаем, что cot(a) = 1/tan(a), поэтому можем переписать это слагаемое:

tan(a) * (1/tan(a)) = 1

Таким образом, левая сторона равенства становится:

cos^2(a)/sin^2(a) + 1

Мы можем представить 1 как sin^2(a)/sin^2(a):

cos^2(a)/sin^2(a) + sin^2(a)/sin^2(a)

Теперь объединим два слагаемых:

(cos^2(a) + sin^2(a))/sin^2(a)

Используем тождество Пифагора снова, чтобы заменить выражение в скобках:

1/sin^2(a)

Таким образом, левая сторона равенства равна правой стороне, что и требовалось доказать:

(1 - sin^2(a))/(1 - cos^2(a)) + tan(a) * cot(a) = 1/sin^2(a)