Question

Logx^2(2-x)<=1 Решите пожалуйста, с подробным объяснением

Answer 1

Есть несколько способов. Первый. Переносите 1 вправо, находите D(f) функции y=logx^2(2-x)-1, ее нули, т.е. когда y=0, это точка x=-2. Далее методом интервалов определяете где y положительный (подставляете просто числа для x из каждого интервала, проверяя знак значения у) .  Второй (сложнее ошибиться, чем в первом, но длинный) рассматриваете два случая, когда основание больше нуля (здесь оно неотрицательно), но меньше единицы, и когда основание больше единицы. Для обоих  случаев решаете это неравенство. Ньюанс: требуется аккуратность со знаками больше меньше при переходе от логарифмического к дробно-рациональному неравенству.  Третий, мой самый любимый, признаться, через равносильность. Из свойств логарифмической функции и с учётом замены в неравенстве упрощённой функцией 'эквивалентом', можно вывести, равносильное преобразование, которое я указал в общем виде. Применяя его и простой метод интервалов, решение займёт 3 минуты.  Удачи вам!

Answer 2

Для решения данного неравенства, начнем с анализа логарифмической функции.

У нас дано неравенство:

logₓ²(2-x) ≤ 1.

Чтобы избавиться от логарифма, мы возведем обе стороны неравенства в основание x²:

x^logₓ²(2-x) ≤ x¹.

Теперь мы можем переписать левую сторону неравенства:

2-x ≤ x.

Получили квадратное уравнение. Приведем его к стандартному виду:

x² + x - 2 ≤ 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя факторизацию или квадратное уравнение:

(x + 2)(x - 1) ≤ 0.

Теперь мы видим, что это неравенство имеет две точки пересечения: x = -2 и x = 1.

Чтобы найти интервалы, в которых неравенство выполняется, мы используем таблицу знаков.

luaCopy code
   -2         1

   |------------------------|-------------------|

    +         -        +  

Теперь рассмотрим каждый интервал:

1. x < -2: Если x < -2, оба множителя (x + 2) и (x - 1) будут отрицательными. Таким образом, неравенство не выполняется на этом интервале.

2. -2 ≤ x < 1: Если -2 ≤ x < 1, первый множитель (x + 2) будет положительным, а второй множитель (x - 1) будет отрицательным. Значит, неравенство выполняется на этом интервале.

3. x ≥ 1: Если x ≥ 1, оба множителя (x + 2) и (x - 1) будут положительными. Таким образом, неравенство выполняется на этом интервале.

Таким образом, решением данного неравенства является интервал -2 ≤ x < 1 и x ≥ 1.