Question

Найдите неизвестные коэффициенты плоскости α, если известно, что она проходит через точки M, N, K. M(–2, 2, –3), N(–4, 5,-6), K(1, –1,1), α: Ax + By + Cz – 1 = 0 В ответе указать чему равно А, Б, С

Answer 1

Абсолютно аналогично:

$\vec{NM}=(-2,2,-3)-(-4,5,-6)=(2,-3,3)\\\vec{KM}=(-2,2,-3)-(1,-1,1)=(-3,3,-4)$

Вектор нормали к плоскости перпендикулярен к каждому вектору плоскости. Найдем векторное произведение наших векторов:

$\vec{NM}\times\vec{KM}=\left[\begin{array}{ccc}x&y&z\\2&-3&3\\-3&3&-4\end{array}\right] =\\\\=x*((-3)*(-4)-3*3)+y*(3*(-3)-2*(-4))+z*(2*3-(-3)*(-3))=\\=3x-y-3z$

ОТВЕТ: A=3; B=-1; C=-3

Answer 2

Для нахождения коэффициентов A, B, C плоскости α, мы можем воспользоваться свойствами векторного произведения.

Возьмем два вектора, направленные от точки M до точки N и от точки M до точки K:

$\overrightarrow{MN} = \begin{pmatrix} -4 - (-2) \\ 5 - 2 \\ -6 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{MK} = \begin{pmatrix} 1 - (-2) \\ -1 - 2 \\ 1 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$

Теперь найдем их векторное произведение:

$\overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MK} = \begin{pmatrix} (3 \cdot -3) - (-3 \cdot 4) \\ (4 \cdot -2) - (3 \cdot 3) \\ (-2 \cdot 3) - (3 \cdot -3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -17 \\ -3 \end{pmatrix}$

Коэффициенты A, B, C в уравнении плоскости α равны координатам этого вектора:

A = -3, B = -17, C = -3

Таким образом, искомые коэффициенты плоскости α равны A = -3, B = -17, C = -3.