Question

Помогите пж! Найти разложении d по базису a,b,c a={1;3;2}, b={2;-5;7} c={1;3;-1} , d={4;1;8}

Answer 1

4 = x*1 + y*2 + z*1   ->  x = 4 - 2y - z

1  = x*3 + y*(-5) + z*3 -> 1 = 12 - 6y - 3z - 5y + 3z  ->  -11 = -11y  -> y = 1  -> x = 2 - z

8 = x*2 + y*7 +z*(-1)  -> 8 = 4 - 2z + 7 - z  -> -3 = -3z  -> z = 1  -> x = 1

d = 1*a + 1*b +1*c = a+b+c (Проверка: координата x: 4 = 1 + 2 + 1 = 4, координата y: 1 = 3 + (-5) + 3 = 1, координата z: 8 = 2 + 7 + (-1) = 8)

Answer 2

Чтобы найти разложение вектора d по базису a, b и c, мы должны выразить вектор d как линейную комбинацию базисных векторов с коэффициентами.

Пусть разложение вектора d имеет вид d = xa + yb + zc, где x, y и z - коэффициенты, которые мы хотим найти.

Тогда мы можем записать систему уравнений:

4 = x + 2y + z 1 = 3x - 5y + 3z 8 = 2x + 7y - z

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения x, y и z. Воспользуемся, например, методом Гаусса или методом Крамера.

Используя метод Гаусса, мы можем привести систему уравнений к ступенчатому виду:

1 2 1 | 4 3 -5 3 | 1 2 7 -1 | 8

Далее, проведем операции приведения системы к ступенчатому виду:

R2 = R2 - 3R1 R3 = R3 - 2R1

1 2 1 | 4 0 -11 0 | -11 0 3 -3 | 0

R3 = R3 + R2

1 2 1 | 4 0 -11 0 | -11 0 0 -3 | -11

Теперь, обратимся к последнему уравнению в системе:

-3z = -11

Решая это уравнение, мы получаем z = 11/3.

Подставляя это значение z во второе уравнение, получаем:

-11y = -11 y = 1.

И, наконец, подставляя значения z и y в первое уравнение, получаем:

x + 2 + 11/3 = 4 x = 4 - 2 - 11/3 x = 1/3.

Итак, разложение вектора d по базису a, b и c имеет вид:

d = (1/3)a + b + (11/3)c.

Таким образом, разложение вектора d по данному базису равно (1/3)a + b + (11/3)c.