Question

1.Найдите наименьшее значение функции f(x) = log 1/4 (64-x^2) 2.Найдите значение производной функции y=xsinx в точке х0=Пожалуйста.

Answer 1

Решение в приложении, подробно не расписывал, если, что не ясно пиши объясню)

Answer 2

1. Найдем наименьшее значение функции f(x) = log₁/₄(64 - x²).

Для нахождения наименьшего значения функции, нужно найти критические точки, то есть точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Затем проверим эти точки на экстремумы.

f(x) = log₁/₄(64 - x²)

Применим свойство логарифма: logₐ(b) = log(c) / log(a), где log(a) - логарифм по основанию a.

f(x) = log(64 - x²) / log(1/₄)

Так как log(1/₄) < 0, то f(x) можно переписать как:

f(x) = -log(64 - x²) / log(4)

Теперь найдем производную функции f(x):

f'(x) = [1 / (64 - x²) * (-2x)] / log(4) = -2x / [(64 - x²) * log(4)]

Чтобы найти критические точки, приравняем f'(x) к нулю и решим уравнение:

-2x / [(64 - x²) * log(4)] = 0

-2x = 0 x = 0

Теперь проверим точку x = 0 на экстремум. Для этого воспользуемся второй производной:

f''(x) = [(-2) * (64 - x²) * log(4) - (-2x) * (2x)] / [(64 - x²)² * log(4)] = [(-128 + 2x²) * log(4) + 4x²] / [(64 - x²)² * log(4)]

Подставим x = 0:

f''(0) = (-128 * log(4)) / (64² * log(4)) = -2 / 64 = -1/32

Получили отрицательное значение, что означает, что точка x = 0 является максимумом функции.

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) = log₁/₄(64 - x²) достигается в точке x = 0 и равно 0.

2. Найдем значение производной функции y = x*sin(x) в точке x₀ = π.

Для этого вычислим производную функции y по переменной x:

y' = (1sin(x) + xcos(x)) = sin(x) + x*cos(x)

Теперь подставим x = π:

y'(π) = sin(π) + πcos(π) = 0 + π(-1) = -π

Таким образом, значение производной функции y = x*sin(x) в точке x₀ = π равно -π.