Question

Найдите производную функции arcsin(sinx) и объясните как искали

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

по формуле производная сложной функции

f'(g(x))=f'(g)*g'(x)

сначала берем производную от arcsin считая sinx аргументом и умножаем на производную аргумента то есть sinx

по формуле (arcsinx)'=1/√(1-x²)

(arcsin(sinx))'=(1/√(1-sin²x))*(sinx)'= cosx/√(1-sin²x)

Answer 2

Для нахождения производной функции arcsin(sin(x)) применим метод дифференцирования сложной функции (chain rule). Пусть f(x) = arcsin(sin(x)).

Сначала вспомним, что arcsin(x) является обратной функцией для sin(x) в определенном интервале, обычно [-π/2, π/2]. Таким образом, arcsin(sin(x)) = x для всех x в этом интервале.

Теперь рассмотрим производную f'(x). По определению производной, она представляет собой предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

scssCopy code
f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h]

Для f(x) = arcsin(sin(x)):

scssCopy code
f'(x) = lim(h->0) [(arcsin(sin(x+h)) - arcsin(sin(x)))/h]

Теперь мы должны выразить arcsin(sin(x+h)) и arcsin(sin(x)) в терминах x+h и x, чтобы сделать вычисления возможными.

Используя тригонометрическую идентичность sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b), мы можем записать:

scssCopy code
sin(x+h) = sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h)

Теперь мы можем выразить arcsin(sin(x+h)) и arcsin(sin(x)):

scssCopy code
arcsin(sin(x+h)) = arcsin(sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h))
arcsin(sin(x)) = x

Возвращаясь к формуле для f'(x):

arduinoCopy code
f'(x) = lim(h->0) [(arcsin(sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h)) - x)/h]

Вычислять этот предел аналитически может быть довольно сложно. Однако мы можем воспользоваться численными методами для приближенного вычисления производной. Например, можно использовать конечные разности или метод Ньютона для численного приближения производной в точке x.

Таким образом, процесс нахождения производной arcsin(sin(x)) включает применение метода дифференцирования сложной функции (chain rule) и численные методы для приближенного вычисления производной.