Question

Докажите, что любое натуральное число представимо в виде частного от деления квадрата некоторого натурального числа на куб некоторого натурального числа.

Answer 1

Надо доказать, что для любого натурального n можно найти натуральные A и B $n = A^2/B^3$, такие что

Заметим, что число n допускает единственное разложение по степеням простых чисел:

$\displaystyle n = p_1^{m_1}p_2^{m_2}...p_z^{m_z}$

Где $p_k$ - неповторяющиеся простые числа. Построим числа A и B по следующему алгоритму. Примем сначала A=B=1. Для каждого k-го множителя в разложении числа n есть два варианта.

1) если степень $m_k$ четная, домножим число A на $p_k^{m_k/2}$. Тогда числитель A^2 будет содержать множитель $p_k^{m_k}$, а так как знаменатель B^3 не содержит такого множителя, частное будет тоже содержать множитель $p_k^{m_k}$

2) если степень $m_k$ нечетная, домножим A на $p_k^{(m_k+3)/2}$, а B домножим на $p_k$. Тогда легко видеть, что отношение A^2 к B^3 будет содержать $p_k$ в степени $2(m_k+3)/2-3 = m_k$, что нам и надо

Действуя таким образом, мы построим нужные нам числа A и B

Answer 2

Давайте рассмотрим произвольное натуральное число n.

Пусть m будет целым числом таким, что m^2/n^3 является наименьшим целым числом, большим или равным m^2/n^3. Мы можем записать это следующим образом:

m^2/n^3 ≤ m^2/n^3 < (m + 1)^2/n^3.

Умножим обе части неравенства на n^3:

m^2 ≤ m^2 < (m + 1)^2.

Раскроем скобки:

m^2 ≤ m^2 + 2m + 1.

Вычитаем m^2 из обеих частей неравенства:

0 ≤ 2m + 1.

Вычитаем 1 из обеих частей неравенства:

-1 ≤ 2m.

Таким образом, получаем:

-1/2 ≤ m.

Мы знаем, что m - целое число, поэтому m должно быть больше или равно -1/2, но меньше или равно некоторому целому числу. Таким образом, m - целое число.

Теперь давайте рассмотрим выражение m^2/n^3. Мы знаем, что m - целое число, поэтому m^2 - квадрат некоторого натурального числа, и n^3 - куб некоторого натурального числа.

Таким образом, любое натуральное число n представимо в виде частного от деления квадрата некоторого натурального числа на куб некоторого натурального числа.