Question

 докажите что число 4^(2n) + 2^(2n+1)+1,n∈ N,является точным квадратом.

Answer 1

$4^{n}+ 2^{n+1}+1= 2^{2n}+2* 2^{n}+1= ( 2^{n}+1) ^{2}$

Answer 2

Для доказательства, что число $4^{2n} + 2^{2n+1} + 1$, где $n \in \mathbb{N}$, является точным квадратом, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг базы: Для $n = 1$ у нас имеется: $4^{2 \cdot 1} + 2^{2 \cdot 1 + 1} + 1 = 4^2 + 2^3 + 1 = 16 + 8 + 1 = 25$. Число 25 является точным квадратом (5^2), так что базовый шаг выполняется.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого $k \in \mathbb{N}$ выполняется, что $4^{2k} + 2^{2k+1} + 1$ является точным квадратом. Нам нужно доказать, что в этом случае и $4^{2(k+1)} + 2^{2(k+1)+1} + 1$ также является точным квадратом.

Имеем: $4^{2(k+1)} + 2^{2(k+1)+1} + 1 = 4^{2k+2} + 2^{2k+3} + 1$. Мы можем переписать $4^{2k+2}$ как $4^{2k} \cdot 4^2 = (4^{2k}) \cdot 16$ и $2^{2k+3}$ как $2^{2k+1} \cdot 2^2 = (2^{2k+1}) \cdot 4$. Подставим эти значения в выражение: $(4^{2k}) \cdot 16 + (2^{2k+1}) \cdot 4 + 1$.

Теперь воспользуемся предположением индукции: $4^{2k} + 2^{2k+1} + 1$ является точным квадратом. Пусть это число равно $m^2$ для некоторого $m \in \mathbb{N}$. Тогда наше выражение примет вид: $(m^2) \cdot 16 + (m^2) \cdot 4 + 1 = m^2 \cdot (16 + 4) + 1 = m^2 \cdot 20 + 1$.

Мы видим, что выражение имеет вид $m^2 \cdot 20 + 1$, что также можно записать как $20 \cdot (m^2) + 1$. Как мы знаем, квадрат любого натурального числа может быть записан в виде $n^2 = 20k + 1$ для некоторого $k \in \mathbb{N}$.

Таким образом, мы видим, что (4^{2(k+1)} + 2^{2(k+1)+1