Question

Сколько существует делящихся на 9 одиннадцатизначных натуральных чисел, в записи которых участвуют только цифры 0 и 4?

Answer 1

1) Число делится на 9 если и только если сумма цифр этого числа делится на 9.
2) Сумма цифр чисел из условия равна 4k, k - число четвёрок в записи числа.
3) Для того, чтобы сумма цифр делилась на 9, k должно делиться на 9.
4) Так как 1<=k<=11, то k=9.
5) Если число четвёрок 9, то число нулей 11-9=2.
6) 11-значное число не может начинаться с нуля.
7) Последовательность из 10 цифр, полученных отбрасыванием первой четвёрки, содержит 2 нуля и 8 четвёрок.
8) Число способов выбрать 2 места из 10 равно
$C_{10}^2=\dfrac{10\cdot9}2=45$

Ответ. 45.

P.S. Интересно, какие из этих 8 пунктов вызывают затруднения?

Answer 2

Чтобы найти количество одиннадцатизначных натуральных чисел, делящихся на 9 и содержащих только цифры 0 и 4, нужно рассмотреть несколько условий.

Первое условие: Сумма всех цифр должна быть кратна 9, так как число должно быть делителем 9.

Второе условие: Число должно состоять из 11 цифр, состоящих только из 0 и 4.

Используя эти условия, мы можем решить эту задачу с помощью комбинаторики.

Рассмотрим первую цифру числа. Она может быть либо 0, либо 4.

Если первая цифра равна 0, то сумма оставшихся 10 цифр должна быть кратна 9. Мы можем выбрать каждую из этих цифр независимо друг от друга, поэтому у нас есть 2^10 возможностей для выбора оставшихся цифр.

Если первая цифра равна 4, то оставшиеся 10 цифр должны составлять число, сумма которого кратна 9 после вычета 4. Это означает, что сумма оставшихся 10 цифр должна быть равна 5 (9 - 4). Для этого мы можем использовать комбинаторный метод "размещений с повторениями". Мы должны разместить 5 единиц (поскольку только цифры 0 и 4 разрешены) среди 10 позиций. Количество возможностей для этого равно C(10, 5), где C - это биномиальный коэффициент.

Итак, общее количество чисел будет равно сумме этих двух случаев:

Общее количество = 2^10 + C(10, 5) = 1024 + 252 = 1276

Таким образом, существует 1276 одиннадцатизначных натуральных чисел, делящихся на 9 и состоящих только из цифр 0 и 4.