Question

Помогите пожааалуйста! а то не решается :( решите в натуральных числах уравнение 2^n+8n+5=k^2

Answer 1

пусть n=1 тогда имеем уравнение

2^1+8*1+5=k^2

15=k^2, что не имеет решений

 

пусть n=2 тогда иммем уравнение

2^2+8*2+5=k^2

25=k^2

откуда k=5 (так как нас интересуют только натуральные решения)

получили пару (2;5)

 

далее, пусть n>2, n є N, k є N

левая часть при делении на 8 дает остаток 5 (2^n при n>2 дает остаток 0, 8n дает остаток 0 при делении на 8, ну а 5 при делении на 8 дает остаток 5, поєтому сумма 2^n+8n+5 дает остаток 0+0+5=5)

правая часть дает остаток либо 0 (числа вида 8m, 8m+4), 1 (8m+1; 8m+3; 8m+5; 8m+7), 4 (8m+2; 8m+6)

т.е. при n>2 левая и правая части уравнения дают разные остатки, а значит уравнение не имеет решений

 

ответ: (2;5)

Answer 2

Хорошо, рассмотрим уравнение 2^n + 8n + 5 = k^2 и попытаемся найти его натуральные числовые решения.

Первым шагом заметим, что левая часть уравнения выглядит как сумма двух квадратов: 2^n и 8n. Мы можем применить формулу разности квадратов, чтобы преобразовать его.

Выразим 8n как (2^2) * (2n). Теперь наше уравнение будет иметь вид:

2^n + (2^2) * (2n) + 5 = k^2.

Теперь мы можем факторизовать левую часть:

2^n + 4 * 2n + 5 = k^2.

2^n + 4 * 2n + 4 + 1 = k^2.

(2^n + 2)^2 + 1 = k^2.

Теперь мы видим, что это уравнение похоже на теорему Пифагора, где (2^n + 2) и k являются длинами сторон прямоугольного треугольника, а 1 является длиной гипотенузы.

Однако, по теореме Пифагора нет целочисленных решений, где длина гипотенузы является натуральным числом, а длины сторон прямоугольного треугольника являются натуральными числами (кроме тривиальных случаев, где одна из длин равна 0).

Таким образом, уравнение 2^n + 8n + 5 = k^2 не имеет натуральных числовых решений.