Question

Найдите интервалы монотонности функции y=x³-3x

Answer 1

у = х³ - 3х

у¹ = 3х² - 3

3х² - 3 = 0

х₁ = 1

х₂ = - 1

Это могут быть точки минимума и максимума функции.

Найдем значение производной на всех трех интервалах

х < -1        -1 < х < 1    и      x > 1

Внесем данные в таблицу (на фото).

Получим, на промежутке (-∞; -1) функция возрастает ,

На промежутке (- 1 ; 1) функция убывает

И на промежутке ( 1 ; + ∞) функция снова возрастает

в точке х= - 1 функция имеет максимум

в точке х = 1 функция имеет минимум.

Это и есть интервалы (или промежутки) монотонности функции

Answer 2

Чтобы найти интервалы монотонности функции y = x³ - 3x, нам понадобится проанализировать знак её производной.

Для этого найдем производную функции по переменной x:

y' = 3x² - 3.

Теперь найдем значения x, при которых производная равна нулю:

3x² - 3 = 0.

Вынесем общий множитель:

3(x² - 1) = 0.

Теперь решим полученное квадратное уравнение:

x² - 1 = 0.

(x - 1)(x + 1) = 0.

Таким образом, получаем два решения: x = 1 и x = -1.

Теперь построим таблицу знаков производной, используя найденные значения:

markdownCopy code
    x < -1        -1 < x < 1        x > 1

y' (-) (+) (+)

Из таблицы видно, что производная отрицательна на интервале (-∞, -1), положительна на интервале (-1, 1) и снова положительна на интервале (1, +∞).

Теперь рассмотрим значения функции на каждом из этих интервалов:

1. Когда x < -1: Подставим, например, x = -2: y = (-2)³ - 3(-2) = -8 + 6 = -2. Таким образом, функция y = x³ - 3x отрицательна на интервале (-∞, -1) и достигает минимума в точке x = -2.

2. Когда -1 < x < 1: Подставим, например, x = 0: y = 0³ - 3(0) = 0. Функция y = x³ - 3x равна нулю на интервале (-1, 1).

3. Когда x > 1: Подставим, например, x = 2: y = 2³ - 3(2) = 8 - 6 = 2. Таким образом, функция y = x³ - 3x положительна на интервале (1, +∞) и достигает максимума в точке x = 2.

Итак, интервалы монотонности функции y = x³ - 3x:

1. Функция убывает на интервале (-∞, -1];
2. Функция возрастает на интервале [-1, 1];
3. Функция возрастает на интервале [1, +∞).