Question

Решить определенный интеграл (верхний предел 1, нижний - 1) sin2*x-cos*3x+1 dx

Answer 1

[-1;1] ∫ (sin2x-cos3x+1) dx = = [-1;1]  (-1/2 cos2x - 1/3 sin3x +x)  = = -1/2 ( cos (2*1) - cos(2*(-1) ) - 1/3 ( sin(3*1) - sin(3*(-1) )  + 1 -(-1)  == -1/2 ( cos (2) - cos(-2) ) - 1/3 ( sin(3) - sin(-3) )  + 2  == -1/2 ( cos (2) - cos(2) ) - 1/3 ( sin(3) + sin(3) )  + 2  == -1/2 * 0 - 1/3 * 2sin(3) + 2  ==  2/3 * (  3 - sin(3)  )

Answer 2

Для решения данного определенного интеграла, мы будем использовать метод интегрирования по частям и затем применим формулу замены переменной. Давайте начнем:

∫[a,b] (sin^2(x) - cos(3x) + 1) dx

Сначала рассмотрим интеграл ∫ sin^2(x) dx. Используем тригонометрическую тождество sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2:

∫[a,b] (sin^2(x) - cos(3x) + 1) dx = ∫[a,b] [(1 - cos(2x))/2 - cos(3x) + 1] dx = 1/2 ∫[a,b] (1 - cos(2x)) dx - ∫[a,b] cos(3x) dx + ∫[a,b] dx = 1/2 ∫[a,b] dx - 1/2 ∫[a,b] cos(2x) dx - ∫[a,b] cos(3x) dx

Теперь рассмотрим интегралы ∫ cos(2x) dx и ∫ cos(3x) dx. Для ∫ cos(2x) dx используем замену переменной u = 2x, тогда dx = du/2:

∫ cos(2x) dx = ∫ cos(u) du/2 = 1/2 ∫ cos(u) du = 1/2 sin(u) + C1 = 1/2 sin(2x) + C1

Аналогично, для ∫ cos(3x) dx используем замену переменной u = 3x, тогда dx = du/3:

∫ cos(3x) dx = ∫ cos(u) du/3 = 1/3 ∫ cos(u) du = 1/3 sin(u) + C2 = 1/3 sin(3x) + C2

Теперь вернемся к выражению интеграла:

1/2 ∫[a,b] dx - 1/2 ∫[a,b] cos(2x) dx - ∫[a,b] cos(3x) dx = 1/2 ∫[a,b] dx - 1/2 (1/2 sin(2x)) - (1/3 sin(3x)) = 1/2 (x) - 1/4 sin(2x) - 1/3 sin(3x) + C

Теперь, чтобы найти определенный интеграл от -1 до 1, мы подставим верхний предел 1 и нижний предел -1 в выражение:

∫[-1,1] (sin^2(x) - cos(3x) + 1) dx = (1/2 (1) - 1/4 sin(21) - 1/3 sin(31)) - (1/2 (-1) - 1/4 sin(2*(-1)) - 1/3 sin(3*(-1))) = 1/2 - 1/