Question

Вычислите производную и интергал x^2 + e^x

Answer 1

$f'(x)=( x^{2} + e^{x} )'=( x^{2} )'+( e^{x} )'=2x+ e^{x}$

Answer 2

Чтобы вычислить производную и интеграл функции $f(x) = x^2 + e^x$, мы используем основные правила дифференцирования и интегрирования. Давайте начнем с вычисления производной.

Производная функции $f(x)$ равна сумме производных ее слагаемых. Производная $x^2$ равна $2x$, а производная $e^x$ равна самой функции $e^x$. Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$\frac{d}{dx}(x^2 + e^x) = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(e^x) = 2x + e^x.$

Теперь рассмотрим вычисление интеграла функции $f(x)$. Интеграл можно взять по отдельности для каждого слагаемого:

$\int (x^2 + e^x) \, dx = \int x^2 \, dx + \int e^x \, dx.$

Интеграл $\int x^2 \, dx$ можно вычислить с помощью формулы для степенной функции. В данном случае, мы получаем:

$\int x^2 \, dx = \frac{1}{3}x^3 + C_1,$

где $C_1$ - постоянная интегрирования.

Интеграл $\int e^x \, dx$ также может быть вычислен, и он равен самой функции $e^x$:

$\int e^x \, dx = e^x + C_2,$

где $C_2$ - постоянная интегрирования.

Таким образом, интеграл функции $f(x)$ равен:

$\int (x^2 + e^x) \, dx = \frac{1}{3}x^3 + e^x + C,$

где $C = C_1 + C_2$ - общая постоянная интегрирования.

Итак, производная функции $f(x)$ равна $2x + e^x$, а интеграл функции $f(x)$ равен $\frac{1}{3}x^3 + e^x + C$.