Question

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2+4x y=x

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Дано: F(x) = x² + 4*x,  y(x)= x

Найти: S=? - площадь фигуры

Пошаговое объяснение:

1) Находим точки пересечения графиков: F(x)=y(x).

x²+3x = х*(х+3)=0 - квадратное уравнение

b = 0- верхний предел, a = -3 - нижний предел.

2) Площадь - интеграл разности функций. Прямая выше параболы.

s(x) =  y(x) - F(x) = -3*x  - x² - подинтегральная функция

3) Интегрируем функцию и получаем:

S(x) = -3/2*x² -1 /3*x³

4) Вычисляем на границах интегрирования.

S(а) = S(-3) = -13,5 + 9 = -4,5

S(b) = S(0) =  0 + 0 = 0

 S = S(0)- S(-3)  = 4,5(ед.²) - площадь - ответ

Рисунок к задаче в приложении.

Answer 2

Для нахождения площади плоской фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 + 4x и y = x, мы должны сначала найти точки пересечения этих двух функций. Затем мы можем вычислить площадь между ними с использованием определенного интеграла.

Первым шагом найдем точки пересечения функций y = x^2 + 4x и y = x.

Приравняем их: x^2 + 4x = x

Приведем квадратное уравнение в стандартную форму: x^2 + 3x = 0

Факторизуем: x(x + 3) = 0

Таким образом, получаем две возможные точки пересечения: x = 0 и x = -3.

Теперь, чтобы найти площадь между этими двумя функциями, мы можем использовать определенный интеграл:

Площадь = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

где f(x) - верхняя функция (в данном случае y = x^2 + 4x), g(x) - нижняя функция (в данном случае y = x), a и b - значения x для точек пересечения (x = 0 и x = -3).

Подставим значения в формулу:

Площадь = ∫[-3, 0] ((x^2 + 4x) - x) dx

Вычислим этот интеграл:

Площадь = ∫[-3, 0] (x^2 + 3x) dx

Площадь = [1/3x^3 + 3/2x^2] [-3, 0]

Площадь = (1/3(0)^3 + 3/2(0)^2) - (1/3(-3)^3 + 3/2(-3)^2)

Площадь = (0 + 0) - (1/3(-27) + 3/2(9))

Площадь = 0 - (-9 + 27/2)

Площадь = 0 - (-9 + 13.5)

Площадь = 0 - (-3.5)

Площадь = 3.5

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 + 4x и y = x, равна 3.5 квадратных единиц.