Question

Из цифр 1, 2, ..., 9 наудачу выбирают без возвращения и записывают в порядке выбора четыре цифры. Вероятность того, что цифры 5 и 6 записаны рядом, равна ... максимально подробно, пожалуйста

Answer 1

Если "выбирают без возвращения" означает, что все цифры разные, то решение такое:

Посчитаем, сколько всего вариантов выбора четырех различных цифр из 9:

$N = 9*8*7*6$

(Сначала выбираем одну из 9 цифр, потом одну из 8и оставшихся и т.д.)

Теперь посчитаем, сколько есть вариантов выбора, где 5 и 6 стоят рядом.

Стоять рядом они могут в трех случаях: если это первые две цифры, последние две и вторая и третья (посередине). В каждом из случаев они могут меняться местами. Т.е. всего есть 3*2 = 6 вариантов их взаимного расположения.

Оставшиеся две цифры могут быть выбраны сначала одна из семи возможных, а затем одна из 6. Таким образом количество вариантов выбора цифр, где 5 и 6 стоят рядом равно:

$M = 3*2*7*6$

Теперь рассчитаем вероятность выпадения такого варианта:

$P = M/N = \frac{7*6*3*2}{9*8*7*6} = \frac{3*2}{9*8} = \frac{1}{12}$

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику и вероятность. Давайте разберемся шаг за шагом.

Всего у нас есть 9 цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Мы должны выбрать 4 цифры без возвращения, то есть каждую выбранную цифру мы удаляем из набора перед следующим выбором.

Сначала посчитаем общее число возможных комбинаций из 9 цифр при выборе 4 цифр. Это можно сделать с помощью формулы комбинаторики "количество сочетаний из n элементов по k": C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!). В нашем случае n = 9 (9 цифр), а k = 4 (4 выбранные цифры).

C(9, 4) = 9! / (4! * (9-4)!) = 9! / (4! * 5!) = (9 * 8 * 7 * 6) / (4 * 3 * 2 * 1) = 126

Теперь давайте посчитаем число благоприятных исходов, когда цифры 5 и 6 записаны рядом. Мы можем рассмотреть случаи, когда 5 стоит перед 6 и когда 6 стоит перед 5.

1. Когда 5 стоит перед 6: Мы можем рассматривать 5 и 6 как одну "единую" цифру, так как они должны быть рядом. Поэтому у нас остаются 8 "единиц", которые мы должны выбрать из. Таким образом, у нас есть 8 цифр (1, 2, 3, 4, 5+6, 7, 8, 9), которые мы выбираем без возвращения из набора из 8. Теперь у нас есть 8 цифр, и мы должны выбрать еще 3 цифры без возвращения из оставшихся. Снова применяем формулу комбинаторики:

   C(8, 3) = 8! / (3! * (8-3)!) = 8! / (3! * 5!) = (8 * 7 * 6) / (3 * 2 * 1) = 56

2. Когда 6 стоит перед 5: Мы снова рассматриваем 5 и 6 как одну "единую" цифру, и у нас остаются 8 "единиц", которые мы должны выбрать из. Таким образом, у нас есть 8 цифр (1, 2, 3, 4, 6+5, 7