Question

При каких значениях а уравнение ax^2+3x+2a^2-3=0 имеет только целые корни.

Answer 1

$ax^2+3x+2a^2-3=0\\ D=3^2-4a(2a^2-3)=9-8a^3+12a\\ D\ \textgreater \ 0 |pri|a\ \textless \ \frac{3}{2}\\ x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{9-8a^3+12a}}{2a}\\ a=\frac{3}{2}=\ \textgreater \ D=0=\ \textgreater \ x=\frac{-3}{2*\frac{3}{2}}=-1\\ a=0 or \pm\sqrt{\frac{3}{2}}=\ \textgreater \ D=9=\ \textgreater \ x_{1,2}=\frac{-3\pm3}{6}= \left \{ {{-1} \atop {0}} \right. \\ a=-2=\ \textgreater \ D=49=\ \textgreater \ x_{1,2}=\frac{-3\pm7}{-4}= \left \{ {{2.5} \atop {-1}} \right.$

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело только целые корни, дискриминант этого уравнения должен быть квадратом некоторого целого числа. Давайте рассмотрим это более подробно.

Уравнение ax^2 + 3x + 2a^2 - 3 = 0 имеет дискриминант D, который определяется как D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения.

В данном случае у нас a = a, b = 3 и c = 2a^2 - 3. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

D = 3^2 - 4(a)(2a^2 - 3) = 9 - 8a^3 + 12a.

Чтобы D был квадратом некоторого целого числа, необходимо и достаточно, чтобы выражение 9 - 8a^3 + 12a было квадратом некоторого целого числа. То есть:

9 - 8a^3 + 12a = k^2,

где k - целое число.

Решим это уравнение. Перепишем его в виде:

8a^3 - 12a = k^2 - 9.

Правая часть равенства k^2 - 9 является разностью квадрата и константы, поэтому мы можем привести ее к виду (k + 3)(k - 3).

Таким образом, уравнение можно переписать следующим образом:

8a^3 - 12a = (k + 3)(k - 3).

Теперь рассмотрим каждый множитель отдельно:

1. Множитель (k + 3): Если (k + 3) делит левую часть (8a^3 - 12a), то он должен делить каждый из ее членов. Возможные значения k + 3 для которых это выполняется, будут возможными значениями a.

2. Множитель (k - 3): Аналогично, если (k - 3) делит левую часть (8a^3 - 12a), то он должен делить каждый из ее членов. Возможные значения k - 3 для которых это выполняется, будут также возможными значениями a.

Таким образом, чтобы уравнение имело только целые корни, необходимо найти такие значения k, при которых оба множителя (k + 3) и (k - 3) делят левую часть (8a^3 - 12a).

Пожалуйста, уточните диапазон значений a, в котором вы хотите найти такие значения k.