Question

Найти производную функции y=sin x+e^x/e^x-sin x

Answer 1

$y= \frac{\sin x+e^x}{e^x-\sin x} \\ y'= (\frac{\sin x+e^x}{e^x-\sin x} )'= \\ = \frac{(\cos x+e^x)(e^x-\sin x) - ( \sin x+e^x)(e^{2} - \cos x) }{(e^x-\sin x) ^{2} }$

Answer 2

Чтобы найти производную функции $y = \frac{\sin(x) + e^x}{e^x - \sin(x)}$, воспользуемся правилом дифференцирования для частного функций.

Для начала выразим функцию в виде $y = \frac{u}{v}$, где $u = \sin(x) + e^x$ и $v = e^x - \sin(x)$.

Теперь применим правило дифференцирования частного функций $y = \frac{u}{v}$:

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

где $u'$ обозначает производную функции $u$ по переменной $x$, а $v'$ обозначает производную функции $v$ по переменной $x$.

Вычислим производные функций $u$ и $v$:

$u' = \frac{d}{dx}(\sin(x) + e^x) = \cos(x) + e^x$ $v' = \frac{d}{dx}(e^x - \sin(x)) = e^x - \cos(x)$

Теперь подставим значения производных в формулу для $y'$:

$y' = \frac{(\cos(x) + e^x)(e^x - \sin(x)) - (\sin(x) + e^x)(e^x - \cos(x))}{(e^x - \sin(x))^2}$

Упростим это выражение:

$y' = \frac{e^x(\cos(x) - \sin(x)) + \cos(x)(e^x - \sin(x)) - \sin(x)(e^x - \cos(x))}{(e^x - \sin(x))^2}$

$y' = \frac{e^x\cos(x) - e^x\sin(x) + \cos(x)e^x - \cos(x)\sin(x) - \sin(x)e^x + \sin(x)\cos(x)}{(e^x - \sin(x))^2}$

$y' = \frac{2e^x\cos(x) - 2\sin(x)e^x}{(e^x - \sin(x))^2}$

$y' = \frac{2e^x(\cos(x) - \sin(x))}{(e^x - \sin(x))^2}$

Таким образом, производная функции $y = \frac{\sin(x) + e^x}{e^x - \sin(x)}$