Question

СРОЧНО! Найти значение параметра a, при котором сумма квадратов корней уравнения x2+(a−3)x−2+a=0 будет наименьшей.

Answer 1

$x^2+(a-3)x-2+a=0\\x^2+(a-3)x+(a-2)=0$

Используем теорему Виета:

$p=(a-3);\ q=a-2\\x_1+x_2=-p\\x_1*x_2=q\\x_1+x_2=3-a\\x_1*x_2=a-2\\(x_1+x_2)^2=(3-a)^2\\x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=a^2-6a+9\\x_1^2+x_2^2=a^2-6a+9-2x_1x_2=a^2-6a+9-2(a-2)=a^2-8a+13$

Рассмотрим функцию $y=a^2-8a+13$

Графиком данной функции является парабола. Так как коэффициент перед квадратом положительный, то у параболы ветви направленны вверх, следовательно наименьшее значение функции будет в вершине.

ищем координаты вершины:

$a=\frac{8}{2}=4\\y=4^2-8*4+13=16-32+13=-3$

В итоге, при a=-3 сумма квадратов корней уравнения будет наименьшей.

Ответ: -3

Answer 2

Для нахождения значения параметра "a", при котором сумма квадратов корней уравнения будет минимальной, мы можем воспользоваться методом дифференциального исчисления.

Пусть корни уравнения будут обозначены как "x₁" и "x₂". Сумма квадратов корней будет равна x₁² + x₂².

Шаг 1: Решение уравнения

Для начала, найдем корни уравнения.

Уравнение имеет вид: x² + (a - 3)x - 2 + a = 0

Мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти корни:

Дискриминант (D) = (a - 3)² - 4(1)(-2 + a)

D = a² - 6a + 9 + 8 - 4a D = a² - 10a + 17

Теперь найдем корни уравнения, используя формулу:

x = (-b ± √D) / (2a)

x₁ = (3 - a + √(a² - 10a + 17)) / 2 x₂ = (3 - a - √(a² - 10a + 17)) / 2

Шаг 2: Нахождение минимума суммы квадратов корней

Теперь мы можем найти значение "a", при котором сумма квадратов корней будет минимальной. Для этого возьмем производную суммы квадратов корней по "a" и найдем точку экстремума.

f(a) = x₁² + x₂²

f(a) = ((3 - a + √(a² - 10a + 17)) / 2)² + ((3 - a - √(a² - 10a + 17)) / 2)²

Теперь возьмем производную f(a) по "a":

f'(a) = d/dx ((3 - a + √(a² - 10a + 17)) / 2)² + ((3 - a - √(a² - 10a + 17)) / 2)²

Производная может быть сложной, поэтому давайте упростим выражение:

f'(a) = (2/4) * (2 * ((3 - a + √(a² - 10a + 17)) / 2) * (-1 + (1/2) * (a² - 10a + 17)^(-1/2)) + 2 * ((3 - a - √(a² - 10a + 17)) / 2) * (-1 - (1/2) * (a² - 10a + 17)^(-1/2)))

f'(a) = ((3 - a + √(a² - 10a + 17)) * (-1 + (1/2) * (a² - 10a + 17)^(-1/2)) + (