Question

Иследовать ряд на сходимость E=n/4^n

Answer 1

$a_n=\dfrac{n}{4^n}$

По признаку д'Аламбера:

$\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \to \infty}\dfrac{n+1}{4^{n+1}}\times\dfrac{n}{4^n}=\dfrac{1}{4}$

Ряд сходится.

Answer 2

Для исследования сходимости ряда E = n/4^n, мы можем применить тест отношения. Давайте проверим, сходится ли данный ряд.

Тест отношения гласит: если предел отношения абсолютных значений последовательных членов ряда равен L (при L < 1), то ряд абсолютно сходится. Если L > 1 или предел не существует, то ряд расходится. Если L = 1, тест не дает определенного результата.

Для нашего ряда E = n/4^n, вычислим предел отношения:

L = lim(n→∞) |(n+1)/4^(n+1) * 4^n/n|

Давайте упростим это выражение:

L = lim(n→∞) |(n+1)/4^n * 4^n/n * 1/4|

После упрощения получаем:

L = lim(n→∞) (n+1)/4n

Мы можем решить этот предел, разделив числитель и знаменатель на 4^n:

L = lim(n→∞) (n/4^n + 1/4^n)

Теперь заметим, что предел первого слагаемого равен нулю, так как n/4^n сходится к нулю с ростом n. Следовательно, мы можем проигнорировать первое слагаемое и остается только второе слагаемое:

L = lim(n→∞) 1/4^n = 0

Таким образом, мы получили, что предел отношения равен нулю. Поскольку L < 1, мы можем сделать вывод, что данный ряд E = n/4^n абсолютно сходится.

Таким образом, ряд E = n/4^n сходится.