Question

Исследовать на экстремум функцию z=xy(12-x-y) (найти все стационарные точки) Напишите подробное решение

Answer 1

$\begin{cases}z'_x=y(12-2x-y)=0\\z'_y=x(12-x-2y)=0\end{cases}\\1)y=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;y=12-2x\\x=0\ \ \ x=12\ \ \ ;x=0(y=12)\ \ \ \ \ x=4(y=4)\\2)x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=12-2y\\y=0\ \ \ \ y=12\ \ ;y=0(x=12)\ \ \ y=4(x=4)\\D(0;0);E(0;12);F(12;0);G(4;4)\\A=z''_{xx}=-2y\\B=z''_{xy}=12-2x-2y\\C=z''_{yy}=-2x$

$D(0;0)\\A=0;B=12;C=0;\mathcal4=-144;\mathcal4$

В точке D экстремума нет.

$E(0;12)\\A=-24;B=-12;C=0;\mathcal4=-144;\mathcal4$

В точке E экстремума нет.

$F(12;0)\\A=0;B=-12;C=-24;\mathcal4=-144;\mathcal4$

В точке F экстремума нет.

$G(4;4)\\A=-8;B=-4;C=-8;\mathcal4=64-16=48;\mathcal4>0;A$

В точке G глобальный максимум.

Answer 2

Чтобы исследовать функцию z = xy(12 - x - y) на экстремумы и найти все стационарные точки, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите частные производные функции z по переменным x и y. Для этого возьмем производную по x, удерживая y постоянным, и производную по y, удерживая x постоянным: ∂z/∂x = y(12 - 2x - y) ∂z/∂y = x(12 - x - 2y)

2. Решите систему уравнений, приравняв обе частные производные к нулю: ∂z/∂x = 0 => y(12 - 2x - y) = 0 ∂z/∂y = 0 => x(12 - x - 2y) = 0

   Разберемся с каждым уравнением по отдельности.

   Уравнение 1: y(12 - 2x - y) = 0 а) y = 0 Если y = 0, то первое уравнение примет вид: 0 = 0(12 - 2x - 0) Это уравнение не дает дополнительных стационарных точек.

   б) 12 - 2x - y = 0 12 - 2x = y Подставим это значение y во второе уравнение: x(12 - x - 2(12 - 2x)) = 0 x(12 - x - 24 + 4x) = 0 5x^2 - 12x + 24 = 0

   mathematicaCopy code
    Решим это квадратное уравнение. Дискриминант D = (-12)^2 - 4 * 5 * 24 = 144 - 480 = -336.
    Так как D < 0, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, эта ветвь не дает стационарных точек.
   

   Уравнение 2: x(12 - x - 2y) = 0 а) x = 0 Если x = 0, то второе уравнение примет вид: 0 = 0(12 - 0 - 2y) Это уравнение не дает дополнительных стационарных точек.

   б) 12 - x - 2y = 0 12 - x = 2y Подставим это значение y в первое уравнение: y(12 - 2(12 - x) - y) = 0 y(12 - 24 + 2x - y) = 0 -y^2 + (2x - 12)y + 12x - 24 = 0

   mathematicaCopy code
    Решим это квадратное уравнение. Дискриминант D =