Question

Доказать, что 1/1+a+ab + 1/1+b+bc + 1/1+c+ca = 1 если abc = 1

Answer 1

привели все к общему знаменателю, рассмотрели числитель отдельно и знаменатель отдельно, оказалось они равны, соответственно дробь равна 1

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, используем известный метод математической индукции. Для этого рассмотрим следующие шаги:

Шаг 1: Базовый случай При a = b = c = 1 получим: 1/(1+1+11) + 1/(1+1+11) + 1/(1+1+1*1) = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1. Таким образом, базовый случай верен.

Шаг 2: Индукционное предположение Предположим, что для некоторых a, b, c, таких что abc = 1, выполняется следующее: 1/(1+a+ab) + 1/(1+b+bc) + 1/(1+c+ca) = 1.

Шаг 3: Индукционный переход Докажем, что если предположение верно для a, b, c, то оно также верно и для a', b', c', где a' = a/x, b' = b/x, c' = cx, а x - произвольное число. Рассмотрим выражение: 1/(1+a'+a'b') + 1/(1+b'+b'c') + 1/(1+c'+c'a') = 1/(1+a/x+ab/x) + 1/(1+b/x+bcx) + 1/(1+cx+ca/x) = 1/(1+(a+ab)/x) + 1/(1+(b+bc)x) + 1/(1+(cc)*x) = 1/(1+a+ab) + 1/(1+b+bc) + 1/(1+c+ca). Мы использовали условие abc = 1 для замены a', b', c' на a, b, c в последнем шаге. Таким образом, предположение верно для a', b', c'.

Шаг 4: Завершение Из базового случая и индукционного перехода следует, что предположение верно для любых положительных чисел a, b, c, таких что abc = 1. Следовательно, мы доказали, что 1/(1+a+ab) + 1/(1+b+bc) + 1/(1+c+ca) = 1 при условии abc = 1.