Question

Y''-4y'+8y=(1+2x)e^x помогите решить

Answer 1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения

$y''-4y'+8y=0$

Пусть $y=e^{\lambda x}$, получим характеристическое уравнение

$\lambda^2-4\lambda+8=0~~~\Longleftrightarrow~~~~(\lambda-2)^2=-4~~\Longrightarrow~~~\lambda=2\pm2i$

Общее решение однородного дифференциального уравнения:

$y^*=e^{2x}(C_1\cos 2x+C_2\sin2x)$

Рассмотрим функцию $f(x)=(1+2x)e^x$, здесь полином $P_n(x)=1+2x~~\Rightarrow~~ n=1$ и $\alpha =1$. Сравнивая α с корнями характеристического уравнения и принимая во внимая, что n = 1, частное решение будем искать в виде:

$y^{**}=(Ax+B)e^x$

Вычислим первые две производные функций:

$y'=(Axe^x+Be^x)'=Ae^x+Axe^x+Be^x\\ y''=Ae^x+Ae^x+Axe^x+Be^x=2Ae^x+Be^x+Axe^x$

Подставим теперь в исходное уравнение и при этом разделим обе части уравнения на $e^x$, получим

$2A+B+Ax-4(A+Ax+B)+8(Ax+B)=1+2x\\ 2A+B+Ax-4A-4Ax-4B+8Ax+8B=1+2x\\ 5Ax-2A+5B=2x+1$

Приравниваем коэффициенты при степенях х:

$\displaystyle \left \{ {{-2A+5B=1} \atop {5A=2}} \right. ~~~\Longrightarrow~~~\left \{ {{B=\dfrac{9}{25}} \atop {A=\dfrac{2}{5}}} \right.$

Частное решение: $y^{**}=\left(\dfrac{2}{5}x+\dfrac{9}{25}\right)e^x$

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

$y=y^*+y^{**}=e^{2x}(C_1\cos 2x+C_2\sin2x)+\left(\dfrac{2}{5}x+\dfrac{9}{25}\right)e^x$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения можно использовать метод вариации постоянных.

1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Y'' - 4Y' + 8Y = 0.

Характеристическое уравнение этого однородного уравнения имеет вид: r^2 - 4r + 8 = 0.

Используя квадратное уравнение, найдем корни: r = (4 ± sqrt((-4)^2 - 418)) / 2 r = (4 ± sqrt(16 - 32)) / 2 r = (4 ± sqrt(-16)) / 2 r = (4 ± 4i) / 2 r = 2 ± 2i.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид: Y_h = C1 * e^(2x) * cos(2x) + C2 * e^(2x) * sin(2x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения, используя метод вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид: Y_p = u(x) * e^x,

где u(x) - неизвестная функция, которую нужно определить.

Вычислим производные: Y_p' = (u' + u) * e^x, Y_p'' = (u'' + 2u' + u) * e^x.

Подставим частное решение в неоднородное уравнение: (u'' + 2u' + u - 4(u' + u) + 8u) * e^x = (1 + 2x) * e^x.

Упростим выражение: (u'' - 2u' + 9u) * e^x = (1 + 2x) * e^x.

Разделим обе части на e^x: u'' - 2u' + 9u = 1 + 2x.

Теперь решим это неоднородное уравнение второго порядка: u'' - 2u' + 9u = 1 + 2x.

Для нахождения частного решения можно использовать метод неопределенных коэффициентов. Предположим, что решение имеет вид: u(x) = A + Bx + Cx^2,

где A, B и C - неизвестные коэффициенты.

Вычислим производные: u'(x) = B + 2Cx, u''(x) = 2C.

Подставим в и