Question

Записать уравнение касательной к графику функции y=1/3x^3-2x^2 в точке с абсциссой x=3

Answer 1

Уравнение касательной:
y= f(x0) + f'(x0)*(x-x0)
f(x0) = 1/3 * 3^3 - 2*3^2 = -9
f'(x) = 1/3 * 3x^2-2*2x = x^2-4x
f'(x0) = 3^2-4*3 = -3
y = -9 -3*(x-3) = -3x

Answer 2

Чтобы записать уравнение касательной к графику функции y = (1/3)x^3 - 2x^2 в точке с абсциссой x = 3, мы должны найти производную функции и использовать ее значение в заданной точке.

Данная функция имеет вид y = (1/3)x^3 - 2x^2. Чтобы найти производную, возьмем производные каждого слагаемого:

dy/dx = d/dx[(1/3)x^3] - d/dx[2x^2]

После применения правила степенной функции и константы, получим:

dy/dx = (1/3) * 3x^2 - 2 * 2x

dy/dx = x^2 - 4x

Теперь мы имеем уравнение для производной функции. Чтобы найти значение производной в точке x = 3, подставим x = 3 в выражение для dy/dx:

dy/dx = (3)^2 - 4(3)

dy/dx = 9 - 12

dy/dx = -3

Значение производной в точке x = 3 равно -3. Теперь у нас есть наклон касательной.

Уравнение касательной к графику функции y = (1/3)x^3 - 2x^2 в точке с абсциссой x = 3 имеет вид:

y - y₀ = m(x - x₀)

где (x₀, y₀) - координаты точки на графике функции, а m - наклон касательной.

Подставим значения (x₀, y₀) = (3, f(3)) = (3, (1/3)(3)^3 - 2(3)^2) = (3, 1) и m = -3:

y - 1 = -3(x - 3)

Раскроем скобки:

y - 1 = -3x + 9

Перенесем -3x налево и 1 вправо:

y + 3x = 10

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = (1/3)x^3 - 2x^2 в точке с абсциссой x = 3 равно y + 3x = 10.