Question

В некоторой геометрической прогрессии с положительным знаменателем 300 членов. Их сумма в 6^{200}+6^{100}+1 раз больше суммы ее первых 100 членов. Во сколько раз произведение тех членов этой прогрессии, номера которых оканчиваются на 9, больше произведения членов с номерами, оканчивающимися на 4?

Answer 1

S(300)/S(100) = (q^300-1)/(q^100-1) = 6^200+6^100+1  

q^200+q^100+1=6^200+6^100+1    

Откуда q=6

Требуется найти между

(b9*b19*b29*...b299)/(b4*b14*b24*b294) =  (b1^30 * q^(8+18+28+38+...+298)) /(b1^30*q^(3+13+23+33+...+293)) = q^((16+10*29)*15) /q^((6+10*29)*15) = q^(4590)/q^(4440) = q^150 = 6^150 раз  

Answer 2

Дано, что сумма 300 членов геометрической прогрессии равна сумме первых 100 членов, умноженной на число 6^{200} + 6^{100} + 1.

Обозначим первый член прогрессии как а, а знаменатель - как q. Тогда формула для суммы n членов геометрической прогрессии будет:

S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)

Дано, что:

S_300 = (6^{200} + 6^{100} + 1) * S_100

(a * (q^300 - 1) / (q - 1)) = (6^{200} + 6^{100} + 1) * (a * (q^100 - 1) / (q - 1))

Упрощаем выражение, деля обе части на (a * (q - 1)):

q^300 - 1 = (6^{200} + 6^{100} + 1) * (q^100 - 1)

Раскрываем скобки:

q^300 - 1 = 6^{200} * q^100 - 6^{200} + 6^{100} * q^100 - 6^{100} + q^100 - 1

Упрощаем выражение:

q^300 - 6^{200} * q^100 - 6^{100} * q^100 + 6^{200} + 6^{100} - q^100 = 0

Обозначим 6^{100} = x:

q^300 - x^2 * q^100 - x * q^100 + x^2 + x - q^100 = 0

Объединяем подобные члены:

q^300 - (x^2 + x) * q^100 + (x^2 + x) - q^100 = 0

Формулируем квадратное уравнение относительно q^100:

(q^100)^2 - (x^2 + x) * q^100 + (x^2 + x) = 0

Это квадратное уравнение имеет вид: ax^2 + bx + c = 0, где:

a = 1 b = -(x^2 + x) c = x^2 + x

Используя формулу для корней квадратного уравнения, получаем:

q^100 = [(x^2 + x) ± sqrt((x^2 + x)^2 - 4 * x^2 - 4 * x)] / 2

Упрощаем подкоренное выражение:

(x^2 + x)^2 - 4 * x^2 - 4 * x = x^4 + 2 * x^3 + x^2 - 4 * x^2 - 4 * x = x^4 + 2 * x^3 - 3 * x^2 - 4 * x

q^100 = [(x^2 + x) ± sqrt(x^4 + 2 * x^3 - 3 * x^2 - 4 * x)]