Question

Решить дифференциальное уравнение y'-(y/x) = (1/x^2)

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение является линейным, неоднородным. Его решение будем искать в виде произведения двух функций  $y=u(x)\times v(x)$, тогда по правилу дифференцирования произведения  $y'=u'v+uv'$. Подставляя в исходное уравнение, получим
·                              $u'v+uv'- \dfrac{uv}{x}= \dfrac{1}{x^2} \Rightarrow\,\,\, u'v+u\bigg(v'- \dfrac{v}{x} \bigg)= \dfrac{1}{x^2}$
Подбираем функцию  $v$ так, чтобы выражение в скобках было равно 0. То есть, имеет место система
·                                                           $\displaystyle \left \{ {{v'- \frac{v}{x} =0} \atop {u'v= \frac{1}{x^2} }} \right.$
Первое дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:
·                         $\displaystyle \frac{dv}{dx} = \frac{v}{x} \Rightarrow\,\, \int\limits \frac{dv}{v}= \int\limits \frac{dx}{x} \Rightarrow\,\, \ln|v|=\ln|x|\Rightarrow\,\, v=x$
Подставим найденное значение во второе уравнение и решим его:
·             $\displaystyle u'x= \dfrac{1}{x^2} \Rightarrow\,\, u'= \dfrac{1}{x^3} \Rightarrow\,\, u= \int\limits \frac{dx}{x^3}= \frac{x^{-2}}{-2}+C=- \frac{1}{2x^2}+C$ 
Вернувшись к замене, получим:
·                     $y=\bigg(- \dfrac{1}{2x^2}+C \bigg)\times x= - \dfrac{1}{2x}+C x$ - общее решение

Ответ:  $y=- \dfrac{1}{2x}+C x.$

Answer 2

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение, воспользуемся методом переменных:

1. Перепишем исходное уравнение в виде:

   y' - (y/x) = 1/x^2

2. Умножим обе части уравнения на x:

   xy' - y = 1/x

3. Перепишем уравнение в более удобной форме:

   xy' - y = 1/x

4. Решим это линейное дифференциальное уравнение. Для этого воспользуемся методом интегрирующего множителя.

   Уравнение вида y' + P(x)y = Q(x) имеет интегрирующий множитель, равный exp(∫P(x)dx).

   В нашем случае P(x) = -1/x, поэтому интегрирующий множитель будет exp(∫(-1/x)dx) = exp(-ln|x|) = 1/x.

   Умножим обе части уравнения на x:

   x(xy' - y) = x(1/x)

   x^2y' - xy = 1

5. Применим интегрирующий множитель:

   (x^2y)' = 1

6. Проинтегрируем обе части уравнения:

   ∫(x^2y)' dx = ∫1 dx

   x^2y = x + C, где C - постоянная интегрирования.

7. Разделим обе части уравнения на x^2:

   y = (x + C)/x^2.

Таким образом, решение дифференциального уравнения y' - (y/x) = 1/x^2 имеет вид y = (x + C)/x^2, где C - произвольная постоянная.