Question

Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и Tсоответственно. Докажите, что BP=DT

Answer 1

ВО=ОД (т.к. точка пересечения диагоналей делит диагонали пополам)
угол АВД=углу ВДА( ВС  параллельно АД (параллелограмм), ВД секущая, как накрест лежащие углы)
угол ВОР=углу ТОД (вертикальные углы)
треугольник ВОР=треугольнику ТОД (по двум углам и стороне, 2-й признак)
если треугольники равны,то все стороны равны
ВР=ДТ 

Answer 2

Для доказательства равенства BP = DT в параллелограмме ABCD, воспользуемся свойством параллелограмма, согласно которому диагонали параллелограмма делятся пополам.

Пусть M и N - точки пересечения диагоналей AC и BD соответственно. Тогда, так как точка О - точка пересечения диагоналей, имеем:

OM = MB и ON = ND.

Рассмотрим треугольники BMP и DNT:

По условию, прямая PT пересекает стороны AB и CD в точках P и T соответственно. Следовательно, получаем:

∠PBM = ∠DTN (по условию) ∠BMP = ∠DNT (вертикальные углы) OM = MB (по свойству параллелограмма) ON = ND (по свойству параллелограмма)

Теперь рассмотрим треугольники BMP и DNT:

По двум углам и стороне:

∠PBM = ∠DTN (по условию) ∠BMP = ∠DNT (по доказанному выше) OM = MB (по свойству параллелограмма) ON = ND (по свойству параллелограмма) Теперь мы можем применить критерий равенства треугольников SAS (сторона-угол-сторона), поскольку у нас есть два равных угла и две равные стороны:

∆BMP ≅ ∆DNT (по SAS)

Из равенства треугольников следует:

BP = DT

Таким образом, мы доказали, что BP = DT в параллелограмме ABCD.