Question

Напишите каноническое уравнение прямой: 2x+y+z-2=0 2x-y-3z+6=0

Answer 1

Дана прямая как линия пересечения двух плоскостей:

{2x+y+z-2=0  

{2x-y-3z+6=0.

Находим уравнение направляющего вектора этой прямой как векторное произведение нормальных векторов заданных плоскостей.

Это n1 = (2; 1; 1) и n2 = (2; -1; -3).

Векторное произведение векторов      

a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}.

Подставим координаты векторов и получаем:

n1* n2 = X Y Z

        -2 8 -4 .

Найдем какую-либо точку прямой . Пусть z = 0, тогда

2x + y = 2

2x - y = -6

4x =  -4         x = -4/4 = -1.

y =2 - 2x = 2 - (2*(-1)) = 2 + 2 = 4.

Следовательно, (-1; 4; 0) – координаты точки, принадлежащей прямой.

Канонические уравнения прямой:

$\frac{x+1}{-2}= \frac{y-4}{8} =\frac{z}{-4} .$

Answer 2

Каноническое уравнение прямой в трехмерном пространстве имеет следующий вид:

(x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c,

где (x₀, y₀, z₀) - координаты произвольной точки на прямой, а (a, b, c) - направляющие коэффициенты прямой.

Для первого уравнения 2x + y + z - 2 = 0, можно выразить одну из переменных через остальные:

2x = -y - z + 2, x = (-y - z + 2)/2.

Таким образом, координаты произвольной точки на прямой можно выбрать как (0, 2, 0), а направляющие коэффициенты прямой равны (1/2, -1, -1).

Подставляя значения в каноническое уравнение, получим:

(x - 0)/(1/2) = (y - 2)/(-1) = (z - 0)/(-1).

Упрощая, получим:

2(x - 0) = -(y - 2) = -(z - 0).

Таким образом, каноническое уравнение первой прямой имеет вид:

2x + (y - 2) + z = 0.

Аналогично для второго уравнения 2x - y - 3z + 6 = 0, можно выразить x и y через z:

2x = y + 3z - 6, x = (y + 3z - 6)/2.

Координаты произвольной точки на прямой можно выбрать, например, как (0, 0, 2), а направляющие коэффициенты прямой равны (1/2, -1/2, -3/2).

Подставляя значения в каноническое уравнение, получим:

(x - 0)/(1/2) = (y - 0)/(-1/2) = (z - 2)/(-3/2).

Упрощая, получим:

2(x - 0) = -(y - 0) = -(z - 2).

Таким образом, каноническое уравнение второй прямой имеет вид:

2x - (y - 0) - 3z + 4 = 0.