Question

Докажите, что n в 5 степени− 15n в 3 степени+ 54n делится на 5 при любом целом п.

Answer 1

Ответ:

Надо доказать М=n^5-15n^3+54n кратно 5.

Прежде всего проверим : n=1  М=54-14=40

                                                n=2   М=32-120+48=-40

Правдоподобно.

М=n*(n^4-15n^2+54) Если n кратно 5, то факт верен.

Покажем, что если n не кратно 5, то выражение в скобках кратно 5.

n^4-15n^2+54=n^4-25n^2+10n^2+54

Если n=5к+1  или n=5к-1 то утверждение очевидно, верно

(остаток от деления n^4 на 5 равен 1)

Если n=5к+2 или 5к-2, то остаток от деления n^4 на 5 равен остатку от деления 16 на 5, т.е. тоже 1. Утверждение верно.

Если n=5к+3 или 5к-3, то остаток от деления n^4 на 5 равен остатку от деления 81 на 5 т.е. тоже 1. Утверждение доказано.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся алгеброй и свойствами деления.

Мы должны доказать, что выражение n^5 - 15n^3 + 54n делится на 5 при любом целом значении n.

Предположим, что n - целое число. Рассмотрим выражение (n^5 - 15n^3 + 54n) в виде суммы трех членов:

(n^5 - 15n^3 + 54n) = n(n^4 - 15n^2 + 54)

Теперь докажем, что каждый из трех членов этой суммы делится на 5.

1. n делится на 5: Так как мы предполагаем, что n - целое число, то n можно записать в виде n = 5k, где k - целое число. Тогда n делится на 5.

2. n^4 - 15n^2 делится на 5: Раскроем скобки в выражении n(n^4 - 15n^2 + 54):

n(n^4 - 15n^2 + 54) = n^5 - 15n^3 + 54n

Теперь рассмотрим только второе слагаемое (n^4 - 15n^2). Заметим, что каждое слагаемое в этой сумме содержит n в качестве множителя. Значит, n^4 и 15n^2 также делятся на n.

n^4 делится на n: n^4 = (n^2) * (n^2), и каждый множитель n^2 делится на n.

15n^2 делится на n: 15n^2 = (3 * 5) * (n^2), и каждый множитель n^2 делится на n.

Таким образом, второе слагаемое (n^4 - 15n^2) делится на n.

3. 54 делится на 5: 54 = 5 * 10 + 4, что означает, что 54 делится на 5 с остатком 4.

Итак, каждый из трех членов (n, n^4 - 15n^2 и 54) делится на 5. Следовательно, их сумма (n^5 - 15n^3 + 54n) также делится на 5.

Таким образом, мы доказали, что выражение n^5 - 15n^3 + 54n делится на 5 при любом целом значении n.