Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^(2)-2x+2, y=x, y=2x-1. Сделать чертёж.

Answer 1

Найдём точки пересечения прямых у=х, у=2х-1 и параболы y=x²-2x+2 .

$x^2-2x+2=x\; \; \to \; \; x^2-x+2=0\; ,\; x_1=1\; ,\; x_2=2\\\\x^2-2x+2=2x-1\; \; \to \; \; x^2-4x+3=0\; ,\; x_1=1\; ,\; x_2=3\\\\2x-1=x\; \; \to \; \; x=1$

Область между заданными линиями (на чертеже закрашена жёлтым цветом) разобьём на две и вычислим её площадь.

$S=\int\limits^2_1\, (2x-1-x)\, dx+\int\limits^3_2\, (2x-1-(x^2-2x+2))\, dx=\\\\=\int\limits^2_1\, (x-1)\, dx+\int\limits^3_2(4x-3-x^2)\, dx=\frac{(x-1)^2}{2}\Big |_1^2+(2x^2-3x-\frac{x^3}{3})\Big |_2^3=\\\\=\frac{1}{2}+(18-9-9)-(8-6-\frac{8}{3})=\frac{1}{2}-2+\frac{8}{3}=\frac{3-12+16}{6}=\frac{7}{6}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, необходимо найти точки их пересечения и определить границы интегрирования.

1. Найдем точки пересечения линий: a. y = x^2 - 2x + 2 и y = x Приравниваем выражения для y: x^2 - 2x + 2 = x x^2 - 3x + 2 = 0 Решаем квадратное уравнение: (x - 1)(x - 2) = 0 Получаем два значения x: x = 1 и x = 2.

   b. y = x^2 - 2x + 2 и y = 2x - 1 Приравниваем выражения для y: x^2 - 2x + 2 = 2x - 1 x^2 - 4x + 3 = 0 (x - 1)(x - 3) = 0 Получаем два значения x: x = 1 и x = 3.

   Таким образом, точки пересечения линий: (1, 1), (2, 2) и (3, 5).

2. Чертеж: Ниже приведен график фигуры, ограниченной указанными линиями.

   

3. Вычисление площади: Фигура ограничена линиями y = x^2 - 2x + 2, y = x и y = 2x - 1. Чтобы вычислить площадь фигуры, нужно найти интеграл от верхней функции до нижней функции на заданном интервале.

   Интеграл от y = x до y = x^2 - 2x + 2 на интервале x = 1 до x = 2: S1 = ∫[1, 2] (x^2 - 2x + 2 - x) dx = ∫[1, 2] (x^2 - 3x + 2) dx = [x^3/3 - (3x^2)/2 + 2x] from 1 to 2 = [(8/3 - 6 + 4) - (1/3 - 3/2 + 2)] = [(8/3 - 18/3 + 12/3) - (1/3 - 9/6 + 12/6)] = [(8 - 18 + 12) - (1 - 3 + 4)]/3 = (-4)/3

   Интеграл от y = x^2 - 2x + 2 до y = 2x - 1 на интервале x = 2 до x = 3: S2 = ∫[2, 3] ((2x - 1