Question

Пожалуйста!!! Написать уравнение касательной к графику у=1/(1+х^2) в точке с абсциссой х0=1

Answer 1

$y= \frac{1}{1+ x^{2} } ,$     $x_0=1$

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ - уравнение касательной
$y'= (\frac{1}{1+ x^{2} } )'= \frac{(1)'*(1+ x^{2} )-1*(1+ x^{2} )'}{(1+ x^{2} )^2} = \frac{0*(1+ x^{2} )-1*2x}{(1+ x^{2} )^2}= -\frac{2x}{(1+ x^{2} )^2}$
$y'(1)=-\frac{2*1}{(1+ 1^{2} )^2} =- \frac{1}{2}$
$y(1)= \frac{1}{1+ 1^{2} }= \frac{1}{2}$

$y= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (x-1)$
$y= \frac{1}{2} -\frac{1}{2} x+ \frac{1}{2}$
$y= -\frac{1}{2} x+1$ - уравнение касательной

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции y = 1/(1+x^2) в точке с абсциссой x0 = 1, мы можем использовать производную функции.

Для начала найдем производную функции y по x:

y = 1/(1+x^2)

y' = d/dx(1/(1+x^2))

Используем правило дифференцирования функции f(g(x)) = f'(g(x)) * g'(x):

y' = -2x/(1+x^2)^2

Теперь мы можем найти значение производной в точке x0 = 1, подставив x = 1 в y':

y'(1) = -2(1)/(1+1^2)^2

y'(1) = -2/(1+1)^2

y'(1) = -2/4

y'(1) = -1/2

Таким образом, значение производной в точке x0 = 1 равно -1/2.

Уравнение касательной имеет вид y = mx + b, где m - наклон касательной, а b - точка пересечения с осью ординат.

Мы уже нашли значение наклона m = -1/2. Чтобы найти точку пересечения с осью ординат, подставим значения x = 1 и y = 1/(1+1^2) = 1/2 в уравнение:

1/2 = (-1/2)(1) + b

1/2 = -1/2 + b

1/2 + 1/2 = b

b = 1

Теперь мы знаем наклон касательной m = -1/2 и точку пересечения с осью ординат b = 1.

Уравнение касательной к графику функции y = 1/(1+x^2) в точке x0 = 1 имеет вид:

y = (-1/2)x + 1