Question

Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x)=x^2+1/x-1

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x^2 + 1/(x - 1), мы должны проанализировать производную функции и ее интервалы монотонности.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = (2x(x - 1) - 1)/(x - 1)^2

2. Найдем точки, где производная равна нулю: (2x(x - 1) - 1)/(x - 1)^2 = 0

Упростим это уравнение: 2x(x - 1) - 1 = 0 2x^2 - 2x - 1 = 0

Решим это квадратное уравнение: Используя квадратное уравнение, получаем два корня: x = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4 * 2 * (-1)))/(2 * 2) x = (2 ± √(4 + 8))/4 x = (2 ± √12)/4 x = (2 ± 2√3)/4 x = (1 ± √3)/2

Таким образом, точки, где производная равна нулю, равны (1 + √3)/2 и (1 - √3)/2.

3. Анализируем интервалы возрастания и убывания функции: Для этого мы должны построить таблицу знаков производной f'(x) на интервалах (-∞, (1 - √3)/2), ((1 - √3)/2, (1 + √3)/2) и ((1 + √3)/2, +∞).

Выберем произвольные значения внутри каждого интервала и определим знак производной.

• При x < (1 - √3)/2: Выберем x = 0. Подставим в производную f'(x): f'(0) = (2 * 0 * (0 - 1) - 1)/(0 - 1)^2 = (-1)/1 = -1 Знак производной f'(x) на этом интервале: отрицательный (-).

• При (1 - √3)/2 < x < (1 + √3)/2: Выберем x = 1. Подставим в производную f'(x): f'(1) = (2 * 1 * (1 - 1) - 1)/(1 - 1)^2 = (0 - 1)/0^2 = -∞ Знак производной f'(x) на этом интервале: отрицательный (-).

• При x > (1 + √3)/2: Выберем x = 2. Подставим в производную f'(x): f'(2) = (2 * 2 * (2 - 1) - 1)/(2 - 1)^2 = (4 - 1)/1 = 3 Знак производной f