Question

Найдите последнее число из выражения 2^2016*7^2017 какой принцип действий? объясните

Answer 1

Принцип такой: последняя цифра - это остаток числа при делении на 10, поэтому можно не получать сами числа, а брать остатки при делении на 10:

2 ^ 1 = 2
2 ^ 2 = 4
2 ^ 3 = 8
2 ^ 4 = 16, пишем 6
2 ^ 5 = 2 ^ 4 * 2 = 6 * 2 = 12, пишем 2
2 ^ 6 = 2 ^ 5 * 2 = 2 * 2 = 4
2 ^ 7 = 2 ^ 6 * 2 = 4 * 2 = 8
и тд

т.е. последние цифры меняются по циклу (2 4 8 6). Поэтому  2 ^ 2016 будет иметь такой же остаток как и 2 ^(2016 - 4) = 2 ^ 2012 (так как цикл длины 4) и 2 ^ (2012 - 4) = 2 ^ 2008 и тд. остаток 2016 при делении на 4 такой же, как и у 4, поэтому и последняя цифра будет как у 2 ^ 4, то естьт 6.

аналогично 7 ^ 2017:

7 ^ 1 = 7
7 ^ 2 = 49 => 9
7 ^ 3 = 7 ^ 2 * 7 = 9 * 7 = 63 => 3
7 ^ 4 = 7 ^ 3 * 7 = 3 * 7 = 21 => 1
7 ^ 5 = 7 ^ 4 * 7 = 1 * 7 = 7
7 уже получали, значит, цикл найден - (7, 9, 3, 1)
2017 имеет остаток 1 при делении на 4, поэтому имеет такую же последнюю цифру как и 7 ^ 1 = 7

осталось перемножить последние цифры: 6 * 7 = 42 =>
последняя цифра 2

Answer 2

Для нахождения последней цифры выражения 2^2016 * 7^2017 мы можем применить принцип действий по модулю.

Принцип действий по модулю гласит, что если у нас есть два числа a и b, и мы хотим найти последнюю цифру их произведения, то мы можем взять последние цифры самих чисел a и b, умножить их и взять последнюю цифру результата.

В данном случае у нас есть два числа 2^2016 и 7^2017. Мы можем разложить каждое из них на множители и использовать принцип действий по модулю для нахождения последней цифры.

Первое число 2^2016 можно разложить следующим образом: 2^2016 = (2^4)^504 = 16^504.

Поскольку мы ищем только последнюю цифру, нам необходимо найти последнюю цифру числа 16^504. Поскольку последняя цифра 16^1 равна 6, мы можем заметить, что последняя цифра степени 16 повторяется через каждые четыре степени (6, 6^2 = 36, 6^3 = 216, 6^4 = 1296 и т.д.). Так как 504 делится на 4 без остатка (504 ÷ 4 = 126), последняя цифра числа 16^504 будет такой же, как последняя цифра числа 16^4, то есть 6.

Аналогично, второе число 7^2017 можно разложить так: 7^2017 = (7^1)^2017 = 7^2017.

Поскольку последняя цифра 7^1 равна 7, мы можем заметить, что последняя цифра степени 7 повторяется через каждую четную степень (7, 7^2 = 49, 7^3 = 343, 7^4 = 2401 и т.д.). Так как 2017 не делится на 2 без остатка, последняя цифра числа 7^2017 будет такой же, как последняя цифра числа 7^1, то есть 7.

Теперь мы можем умножить последние цифры 6 и 7: 6 * 7 = 42.

Итак, последняя цифра выражения 2^2016 * 7^2017 равна 2.