Question

В партии из 8 деталей имеется 6 стандартных. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад деталей равно 3 стандартных

Answer 1

P(A)=\frac{C_6^3\cdot C_2^2}{C_8^5}\\C_6^2=\frac{6!}{3!\cdot3!}=\frac{4\cdot5\cdot6}{1\cdot2\cdot3}=20\\C_2^2=1\\C_8^5=\frac{8!}{5!\cdot3!}=\frac{6\cdot7\cdot8}{1\cdot2\cdot3}=56\\P(A)=\frac{20}{56}=\frac5{14}

Answer 2

Чтобы найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад деталей будет ровно 3 стандартных, мы можем использовать биномиальное распределение. Биномиальное распределение применяется для моделирования ситуаций, в которых есть два возможных исхода (в данном случае, стандартная или нестандартная деталь) и происходят независимые испытания (взятие деталей наугад).

Формула для биномиального распределения: P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

Где: P(X = k) - вероятность получить k успехов C(n, k) - число сочетаний из n элементов по k (выбрать k элементов из n) p - вероятность успеха в каждом испытании (вероятность взять стандартную деталь) n - общее количество испытаний (взятых деталей)

В данном случае, у нас есть 8 деталей, из которых 6 стандартных. Таким образом, p = 6/8 = 3/4. Также нам нужно выбрать 5 деталей, поэтому n = 5.

Теперь мы можем подставить значения в формулу: P(X = 3) = C(5, 3) * (3/4)^3 * (1 - 3/4)^(5 - 3)

Вычислим значения: C(5, 3) = 5! / (3! * (5 - 3)!) = 10 (3/4)^3 = 27/64 (1 - 3/4)^(5 - 3) = 1/16

P(X = 3) = 10 * (27/64) * (1/16) = 270/1024 ≈ 0.2637

Таким образом, вероятность того, что среди пяти взятых наугад деталей будет ровно 3 стандартных, составляет примерно 0.2637 или около 26.37%.