Question

Помогите пожалуйста решить задачи 1. В четырехзначном числе каждую цифру увеличили на 1 или на 5, в результате чего оно увеличилось в четыре раза. Каким могло быть исходное число? 2. На 22 карточках написаны натуральные числа от 1 до 22. Из этих карточек составили 11 дробей. Какое наибольшее число этих дробей могут иметь целые значения?

Answer 1

11+11=22. 22*4=88 88:11=8. Ответ 8 карточек

Answer 2

1. Пусть исходное четырехзначное число равно ABCD, где A, B, C и D - его цифры. Согласно условию, каждую цифру увеличили на 1 или на 5, и в результате число увеличилось в четыре раза. Это можно записать следующим образом:

(10A + 1) + (10B + 1) + (10C + 1) + (10D + 1) = 4(1000A + 100B + 10C + D)

Упростим это уравнение:

10(A + B + C + D) + 4 = 4000A + 400B + 40C + 4D

Выразим A, B, C и D через одну из них, например, через D:

A = (10B + 10C + 9D - 4) / 3990

Поскольку A является целым числом, числитель должен делиться на 3990 без остатка. Рассмотрим возможные значения D (1, 2, 3, ..., 9), проверим деление и найдем соответствующие значения A, B и C.

2. Чтобы число дробей имело целые значения, каждое из чисел от 1 до 22 должно быть разделено на одинаковый делитель. Наибольший общий делитель (НОД) чисел от 1 до 22 равен 1, поэтому все числа в дробях должны быть взаимно простыми друг с другом.

Таким образом, наибольшее количество дробей с целыми значениями можно получить, если все числа от 1 до 22 разделить на 1. В этом случае все дроби будут иметь значение 1, и их число будет равно 22.