Question

Найдите все первообразные: 1. f(x)=8-x^23 2. f(x)+cos x+1/√x

Answer 1

$1)f(x)=8-x^{23}\\ \\ F(x)=8x-\frac{x^{23+1}}{23+1}+C=8x-\frac{x^{24}}{24}+C=8x-\frac{1}{24}x^{24}+C$

Ответ: $F(x)=8x-\frac{1}{24}x^{24}+C$

$2) f(x)=\cos x+\frac{1}{\sqrt{x}}=\cos x+\frac{1}{x^\frac{1}{2}} =\cos x+x^{-\frac{1}{2}}\\ \\ F(x)= \sin x+\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} +C=\sin x+\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} +C=\sin x+2x^{\frac{1}{2}} +C=\\ \\ =\sin x+2\sqrt{x} +C$

Ответ: $F(x)=\sin x+2\sqrt{x} +C$

Answer 2

1. Для первой функции f(x) = 8 - x^2/3:

Чтобы найти первообразную этой функции, возьмем интеграл от f(x) по переменной x. Поскольку интегрируемая функция представляет собой разность двух слагаемых, мы можем разбить интеграл на два:

∫(8 - x^2/3) dx = ∫8 dx - ∫(x^2/3) dx

Первый интеграл равен 8x + C1, где C1 - произвольная постоянная.

Для второго интеграла мы можем использовать формулу для интегрирования степенной функции:

∫(x^2/3) dx = (3/(2+1)) * x^(2/3+1) + C2 = (3/2) * x^(5/3) + C2, где C2 - еще одна произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции f(x) равна:

F(x) = 8x + (3/2) * x^(5/3) + C, где C = C1 + C2 - произвольная постоянная.

2. Для второй функции f(x) = cos(x) + 1/√x:

Чтобы найти первообразную этой функции, возьмем интеграл от f(x) по переменной x:

∫(cos(x) + 1/√x) dx

Интеграл от cos(x) равен sin(x) + C1, где C1 - произвольная постоянная.

Интеграл от 1/√x можно найти с помощью замены переменной. Положим u = √x, тогда du/dx = 1/(2√x) и dx = 2√x du. Подставим это в интеграл:

∫(1/√x) dx = ∫(1/u) (2√x du) = 2∫du = 2u + C2 = 2√x + C2, где C2 - еще одна произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции f(x) равна:

F(x) = sin(x) + 2√x + C, где C = C1 + C2 - произвольная постоянная.