Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции у=2х⁴+8х³+9 на промежутке [-1/2;2]

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y=2x⁴+8x³+9    [(-1/2);2]

y'=(2x⁴+8³+9)'=8x³+24x²=0

8x²*(x+3)=0  |÷8

x²*(x+3)=0

x₁=0 ∈         x₂=-3  ∉

y(-1/2)=2*(-1/2)⁴+8*(-1/2)³+9=(1/8)-1+9=8¹/₈=yнаим.

y(0)=2*0⁴+8*0³+9=9

y(2)=2*2⁴+8*2³+9=32+64+9=105=yнаиб.

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y = 2x^4 + 8x^3 + 9 на заданном промежутке [-1/2; 2], необходимо найти значения функции на границах интервала и в критических точках внутри интервала.

1. Найдем значения функции на границах интервала: Подставим x = -1/2: y = 2(-1/2)^4 + 8(-1/2)^3 + 9 = 2(1/16) - 8(1/8) + 9 = 1/8 - 1 + 9 = 1/8 - 8/8 + 72/8 = 65/8

Подставим x = 2: y = 2(2)^4 + 8(2)^3 + 9 = 2(16) + 8(8) + 9 = 32 + 64 + 9 = 105

2. Найдем критические точки внутри интервала, найдя производную функции и приравняв ее к нулю: y = 2x^4 + 8x^3 + 9 y' = 8x^3 + 24x^2

Приравняем производную к нулю и решим уравнение: 8x^3 + 24x^2 = 0 8x^2(x + 3) = 0

Отсюда получаем две критические точки: x = 0 и x = -3.

3. Найдем значения функции в критических точках: Подставим x = 0: y = 2(0)^4 + 8(0)^3 + 9 = 0 + 0 + 9 = 9

Подставим x = -3: y = 2(-3)^4 + 8(-3)^3 + 9 = 2(81) - 8(27) + 9 = 162 - 216 + 9 = -45

Таким образом, наибольшее значение функции на промежутке [-1/2; 2] равно 105 и достигается при x = 2, а наименьшее значение равно -45 и достигается при x = -3.