Question

Преобразовать в произведение с подробным пояснением пожалуйста! 1) cos75+cos15 2)cos20-cos80

Answer 1

Воспользуемся формулами:
cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 · cos(α - β)/2
cosα - cosβ = -2sin(α + β)/2 · sin(α - β)/2

Знаем: сos90° = 0, cos60° = 1/2, sin30° = 1/2

cos75° + cos15° = 2cos(75° + 15°)/2 · cos(75° - 15°) = 2cos90° · cos60° =
= 2 · 0 · 1/2 = 0
cos20° - cos80° = -2sin50° · sin(-30°) = 2sin50° · 1/2 = sin50°

Answer 2

1. Для преобразования выражения cos75 + cos15 в произведение, воспользуемся формулой сложения косинусов:

scssCopy code
cos(A) + cos(B) = 2*cos((A + B)/2)*cos((A - B)/2)

Подставим значения A = 75 и B = 15:

scssCopy code
cos75 + cos15 = 2*cos((75 + 15)/2)*cos((75 - 15)/2)
              = 2*cos(90/2)*cos(60/2)
              = 2*cos(45)*cos(30)

Здесь мы использовали то, что cos(90/2) = cos(45) = 1/√2 и cos(60/2) = cos(30) = √3/2. Теперь выражение принимает вид:

scssCopy code
2*(1/√2)*(√3/2) = √6/√2 = √6/(√2*√2) = √6/2 = (1/2)*√6

Таким образом, cos75 + cos15 преобразуется в (1/2)*√6.

2. Для преобразования выражения cos20 - cos80 в произведение, воспользуемся формулой разности косинусов:

scssCopy code
cos(A) - cos(B) = -2*sin((A + B)/2)*sin((A - B)/2)

Подставим значения A = 20 и B = 80:

scssCopy code
cos20 - cos80 = -2*sin((20 + 80)/2)*sin((20 - 80)/2)
             = -2*sin(100/2)*sin(-60/2)

Здесь мы использовали то, что sin(100/2) = sin(50) = √(3 - √5)/4 и sin(-60/2) = sin(-30) = -1/2. Теперь выражение принимает вид:

scssCopy code
-2*(√(3 - √5)/4)*(-1/2) = (√(3 - √5))/2

Таким образом, cos20 - cos80 преобразуется в √(3 - √5)/2.