Question

В трапеции с основаниями 3 и 4 диагональ имеет длину 6 и является биссектрисой одного из углов. Площадь трапеции, умноженная на √ 112 равна…

Answer 1

ДАНО: АВСD - трапеция , ВС = 3 см , АD = 4 cм , АС = 6 см , угол АСВ = угол АСD ( или угол ВАС = угол САD )


НАЙТИ: S abcd × √112
_____________________________

РЕШЕНИЕ:

A) 1 случай, когда угол ВАС = угол CAD

угол САD = угол АСВ - как накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС

Значит, АВС - равнобедренный => AB = BC = 3 cm

Рассмотрим ∆ АВС :

По свойству треугольника : каждая из сторон треугольника меньше суммы двух других сторон. Проверим это

АВ < ВС + АС
3 < 3 + 6
3 < 9 - верно

АС < ВС + АВ
6 < 3 + 3
6 < 6 - не верно

Значит, треугольника со сторонами 3 , 3 , 6 не существует

Поэтому угол ВАС ≠ угол САD

Б ) 2 случай, когда угол АСВ = угол АСD

угол ACB = угол CAD - как накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей AC

Значит, CAD - равнобедренный => CD = AD = 4 cm

Рассмотрим ∆ АВС :

Также проверим на свойство треугольника

АС < АD + CD
6 < 4 + 4
6 < 8 - верно

AD < AC + CD
4 < 6 + 4
4 < 10 - верно

CD < AD + AC
4 < 4 + 6
4 < 10 - верно

Значит, треугольник со сторонами 4 , 4 , 6 существует

Поэтому угол ACB = угол ACD

B) Рассмотрим ∆ АСD :

Пусть угол САD = a, тогда

По теореме косинусов:

CD² = АD² + AC² - 2× AD × AC × cosa
4² = 4² + 6² - 2×4×6× cosa
16 = 16 + 36 - 48cosa

cosa = 36/48 = 3/4

Г) Рассмотрим ∆ АВС:

угол АСВ = угол САД = а

По теореме косинусов:

AB² = BC² + AC² - 2 × BC × AC × cosa
AB² = 3² + 6² - 2×3×6 × ( 3/4 )
AB² = 9 + 36 - 27 = 18

AB = 3√2 cm

Д) Рассмотрим ∆ САD :

По формуле Герона:

$s = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

Где a, b, c - cтороны треугольника

р = ( a + b + c )/2 - полупериметр

S cad =
$\sqrt{7 \times 1 \times 3 \times 3} = 3 \sqrt{7}$

S cad = 3√7 cm²


E ) Рассмотрим ∆ АВС :

По формуле Герона :

S abc =
$\sqrt{( \frac{9 + 3\sqrt{2} }{2}) \times ( \frac{9 - 3 \sqrt{2} }{2}) \times ( \frac{ 3 \sqrt{2} + 3 }{2}) \times( \frac{3 \sqrt{2} - 3 }{2} ) } = \\ \\ = \sqrt{ \frac{(9 + 3 \sqrt{2})(9 - 3 \sqrt{2} )(3 \sqrt{2} + 3)(3 \sqrt{2} - 3) }{2 \times 2 \times 2 \times 2} } = \\ \\ = \sqrt{ \frac{63 \times 9}{4 \times 4} } = \sqrt{ \frac{7 \times 9 \times 9}{4 \times 4} } = \frac{9}{4} \sqrt{7}$

S abc = 9/4 × √7 cm²



S abcd × √112 = ( S abc + S cad ) × √112 =
$= (3 \sqrt{7} + \frac{9 \sqrt{7} }{4} ) \times \sqrt{112} = \sqrt{7 \times 112} \times (3 + \frac{9}{4} ) = \\ \\ = 28 \times (3 + \frac{9}{4} ) = 84 + 63 = 147$




ОТВЕТ: 147 см²