Question

9.1. Выберите три различных цифры так, чтобы среди трёхзначных "чисел, которые из них можно составить, оказались числа, делящиеся на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10. 9.2. Даны три числа. Если бы первое из них увеличили на 40%, а второе – на 20%, то сумма всех трёх чисел увеличилась бы на 2,5; если бы второе число увеличили на 40%, а третье – на 20%, то сумма увеличилась бы на 5; наконец, если бы третье число увеличили на 40%, а первое — на 20%, то сумма увеличилась бы на 4,5. Какой могла быть сумма трёх исходных чисел? 9.3. Дан прямоугольный треугольник ABC (угол В - прямой). Окружность с центром в точке В проходит через точку А и пересекает сторону AC в точке D. Пусть E — середина стороны ВС. Найдите углы треугольника ABC, если известно, что угол DEC - прямой. 9.4. Дискриминант трехчлена f (x) = ах* + 2bx +с равен дискриминанту трехчлена g(x) = (a+1)х* + 2(b – 2)x + c +4. Найдите значение f(2).

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

9.1. Это цифры 3, 6 и 0.

Число 360 делится на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10.

Число 630 делится на 7.

9.2. Обозначим эти три числа a, b, c. Составим систему по условиям.

{ 1,4a + 1,2b + c = a + b + c + 2,5

{ a + 1,4b + 1,2c = a + b + c + 5

{ 1,2a + b + 1,4c = a + b + c + 4,5

Сокращаем подобные

{ 0,4a + 0,2b + 0c = 2,5

{ 0a + 0,4b + 0,2c = 5

{ 0,2a + 0b + 0,4c = 4,5

Умножаем все на 10

{ 4a + 2b + 0c = 25

{ 0a + 4b + 2c = 50

{ 2a + 0b + 4c = 45

Получили линейную систему, складываем все три уравнения

4a + 0a + 2a + 2b + 4b + 0b + 0c + 2c + 4c = 25 + 50 + 45

6a + 6b + 6c = 120

Делим все на 6

a + b + c = 20.

При некотором усилии можно найти отдельно каждую переменную.

Если интересно, a = 2,5; b = 7,5; c = 10.

Ответ: a + b + c = 20

9.3. Рисунок прилагается.

Так как угол DEC - прямой, то DE параллельна АВ (как перпендикуляры к одной прямой), а значит DE - средняя линия треугольника. Значит, D середина гипотенузы AC, тогда BD - медиана.

Есть такое свойство прямоугольного треугольника: медиана, выходящая из прямого угла, равна половине гипотенузы.

А в данном случае она ещё и равна радиусу окружности, то есть катету AB.

AB = BD = AD, то есть треугольник ABD равносторонний.

Угол BAD = BAC = 60°, а угол BCD = BCA = 30°.

Ответ: Углы треугольника ABC равны 30°, 60°, 90°.

9.4. Я квадрат буду обозначать ^2, как обычно в программировании.

f(x) = ax^2 + 2bx + c

Df = 4b^2 - 4ac

g(x) = (a+1)x^2 + 2(b-2)x + (c+4)

Dg = 4(b-2)^2 - 4(a+1)(c+4)

По условию Df = Dg

4(b-2)^2 - 4(a+1)(c+4) = 4b^2 - 4ac

4(b^2 - 4b + 4) - 4(ac + c + 4a + 4) = 4b^2 - 4ac

Делим все на 4

b^2 - 4b + 4 - ac - c - 4a - 4 = b^2 - ac

Сокращаем подобные

-4b - c - 4a = 0

4a + 4b + c = 0

Значение f(2) = a*2^2 + 2b*2 + c = 4a + 4b + c = 0

Ответ: f(2) = 0