Question

Две стороны треугольника равны 6 и 8 см, а угол между ними 60°. Найдите третью сторону и площадь треугольника

Answer 1

Давайте обозначим стороны треугольника следующим образом:

- \(a\) и \(b\) будут длинами известных сторон (6 см и 8 см), - \(c\) будет длиной третьей стороны, - \(\alpha\) будет углом между сторонами \(a\) и \(b\) (в данном случае 60°).

Мы можем использовать закон косинусов для нахождения третьей стороны:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha) \]

Вставим известные значения:

\[ c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60°) \]

Расчитаем косинус 60°:

\[ \cos(60°) = \frac{1}{2} \]

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

\[ c^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \]

\[ c^2 = 36 + 64 - 48 \]

\[ c^2 = 52 \]

Теперь найдем значение \(c\):

\[ c = \sqrt{52} \]

\[ c \approx 7.211 \, \text{см} \]

Таким образом, третья сторона треугольника примерно равна 7.211 см.

Теперь найдем площадь треугольника. Мы можем использовать формулу для площади треугольника по длинам сторон и половине периметра (\(s\)):

\[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]

где \(s\) - полупериметр, вычисляемый как \(s = \frac{a+b+c}{2}\).

Подставим известные значения:

\[ s = \frac{6 + 8 + 7.211}{2} \]

\[ s \approx \frac{21.211}{2} \approx 10.606 \]

Теперь вычислим площадь:

\[ S = \sqrt{10.606 \cdot (10.606 - 6) \cdot (10.606 - 8) \cdot (10.606 - 7.211)} \]

\[ S \approx \sqrt{10.606 \cdot 4.606 \cdot 2.606 \cdot 3.395} \]

\[ S \approx \sqrt{537.93} \]

\[ S \approx 23.17 \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь треугольника примерно равна 23.17 квадратным сантиметрам.